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化一 · 区间最值

辅助角公式与三角式的最值

含正弦与余弦两项的式子，最值不能逐项取。sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 各自的最大值都是 11，但两者不在同一处取到，sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x 的最大值是 2\sqrt{2} 而不是 22。要把这类式子的最值读出来，先把两项合并成一项。

1 · 两个系数合成一个振幅

给定不同时为零的 aa、bb，记 R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}。把 asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x 提出 RR：

asin⁡x+bcos⁡x=R(aRsin⁡x+bRcos⁡x)a\sin x + b\cos x = R\left(\frac{a}{R}\sin x + \frac{b}{R}\cos x\right)

括号里两个系数满足 (a/R)2+(b/R)2=1(a/R)^2 + (b/R)^2 = 1，正是单位圆上一点的坐标，所以存在角 φ\varphi 使 cos⁡φ=a/R\cos\varphi = a/R、sin⁡φ=b/R\sin\varphi = b/R。代回括号，括号内恰是 sin⁡xcos⁡φ+cos⁡xsin⁡φ\sin x \cos\varphi + \cos x \sin\varphi，按和角公式合成一项：

定理 1.1（辅助角公式） 设 aa、bb 不同时为零，R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}，取 φ\varphi 满足 cos⁡φ=a/R\cos\varphi = a/R 且 sin⁡φ=b/R\sin\varphi = b/R，则对一切 xx 有 asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)。

这一步在课本里叫「化一」，意思是把两个三角项化成一个。合成后的式子与 一般正弦型函数的图象变换 讨论的 y=Asin⁡(ωx+φ)y = A\sin(\omega x + \varphi) 同形，那一页关于振幅、周期与相位的结论可以直接搬过来。

图 1-1 · 原式与化一后的曲线重合，着色带是选定的闭区间。可调两个系数与区间的左端与宽度，读数给出 RR、φ\varphi 与区间上实际取到的最值。

2 · 值域与区间最值的分离

化一之后值域一眼可读：xx 取遍实数时 sin⁡(x+φ)\sin(x + \varphi) 取遍 [−1, 1][-1,\ 1]，故 asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x 的值域是 [−R, R][-R,\ R]。

区间上的最值是另一回事。xx 限定在 [m, n][m,\ n] 内时，x+φx + \varphi 走过的只是长度为 n−mn - m 的一段，峰点 x=90°−φx = 90° - \varphi 与谷点 x=270°−φx = 270° - \varphi 未必落在里面。落不进去时最大值由端点取到，比 RR 小。

警示 · 区间最值不能照抄值域的两端。取 a=1a = 1、b=3b = \sqrt{3}，则 R=2R = 2、峰在 x=30°x = 30° 处。区间取 [45°, 90°][45°,\ 90°] 时峰在区间外，实测最大值是 1.9318516526（即 (1+3)/2(1 + \sqrt{3})/\sqrt{2}，在左端点 x=45°x = 45° 处取到），比 RR 少了 0.0681483474；最小值则是 11，在右端点取到。harmonicRange 因此把候选点限定为三类：两个端点、区间内的峰、区间内的谷，并把「峰在不在区间内」作为一个字段报出来，而不是直接返回 ±R\pm R。

3 · 辅助角的取法

φ\varphi 常被写成 arctan⁡(b/a)\arctan(b/a)，这个写法只在 a>0a > 0 时对。tan⁡φ=b/a\tan\varphi = b/a 无法区分 (a, b)(a,\ b) 与 (−a, −b)(-a,\ -b)，而这两组系数给出的曲线相位相差 180°180°。取 φ\varphi 的正确依据是 cos⁡φ\cos\varphi 与 sin⁡φ\sin\varphi 两个值，也就是两参数的 Math.atan2(b, a)。

注 · 特殊角的辅助角在浮点下不落在整数度上。Math.atan2(Math.sqrt(3), 1) 折成度是 59.99999999999999，不是 6060；峰的位置 90°−φ90° - \varphi 随之带上尾巴，实测是 30.000000000000007。这不影响最值的数值（同一组系数下 RR 恰好等于 22），但影响的是判等：读数里的角一律显示到小数点后若干位，而判断「峰是否落在区间内」用的是带容差的比较。同一组系数化一前后的两条曲线在 [−720°, 720°][-720°,\ 720°] 上以 0.25°0.25° 步长对表，最大偏差是 4.884981308350689e-15，合 2222 个 Number.EPSILON，取在 x=668.5°x = 668.5° 处。

4 · 化不成一项的两类式子

式子里出现 sin⁡2x\sin^2 x、cos⁡2x\cos^2 x 或 sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x 时，先用降幂与二倍角公式把次数降到一次，再化一。例如 sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x\sin^2 x + 2\sin x\cos x 先化成 (1−cos⁡2x)/2+sin⁡2x(1 - \cos 2x)/2 + \sin 2x，整理为 sin⁡2x−12cos⁡2x+12\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}，这才轮到辅助角公式，合成后的振幅是 5/2\sqrt{5}/2。

另一类要换元。sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x 与 sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x 同时出现时，令 t=sin⁡x+cos⁡xt = \sin x + \cos x，则 t2=1+2sin⁡xcos⁡xt^2 = 1 + 2\sin x\cos x，两个量都由 tt 表出，原式变成 tt 的二次函数。tt 的取值范围由化一给出：t=2sin⁡(x+45°)t = \sqrt{2}\sin(x + 45°)，故 t∈[−2, 2]t \in [-\sqrt{2},\ \sqrt{2}]。换元法的成败全在这一步——新变量的范围必须自己算出来，照搬 xx 的范围会得到一个更宽的区间，二次函数在其上的最值也就跟着错。

5 · 参考文献

  1. Harmonic Addition Theorem. Wolfram MathWorld. 辅助角公式的一般形式与 RR、φ\varphi 的取法。https://mathworld.wolfram.com/HarmonicAdditionTheorem.html
  2. List of trigonometric identities. Wikipedia. 线性组合一节给出同频正弦项的合成规则。https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
  3. atan2. Wikipedia. 两参数反正切，以及它为何能定出四个象限。https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
  4. Phasor. Wikipedia. 同频正弦的相量表示，化一在工程里的对应写法。https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor
  5. Extreme value theorem. Wikipedia. 闭区间上连续函数取到最值，区间端点为何必须进候选。https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem