一般正弦型函数的图象变换

正弦与余弦曲线 §2 已经指出 $A$、$\omega$、$\varphi$ 各管一件事。把竖直平移 $b$ 一并加入，得到描述简谐振动的一般形式 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + b$。本页把四个参数的几何效果逐一说清，并处理由基本曲线到一般曲线的变换路线问题。

1 · 四个参数各自的效果

$|A|$ 是振幅 (amplitude)，它把曲线沿纵向拉伸 $|A|$ 倍，值域由 $[-1,\ 1]$ 变成 $[b - |A|,\ b + |A|]$。$\omega$ 是角频率，它把曲线沿横向压缩为原来的 $1/|\omega|$ 倍，周期变成 $T = 2\pi/|\omega|$。$\omega x + \varphi$ 整体称为相位 (phase)，$x = 0$ 处的相位 $\varphi$ 称为初相。$b$ 把整条曲线上下搬动，中轴由 $y = 0$ 变成 $y = b$。

$A$、$\omega$、$b$ 三者互不干扰：$A$ 只改纵向幅度，$\omega$ 只改疏密，$b$ 只改中轴高度。$\varphi$ 是例外，它与 $\omega$ 纠缠在一起——曲线相对 $y = A\sin(\omega x)$ 的实际横向平移量是 $\varphi/\omega$，而不是 $\varphi$。

2 · 平移量的 ω 因子

由 $y = \sin x$ 得到 $y = \sin(\omega x + \varphi)$ 有两条路线，它们的中间态不同，终点相同。

先平移后伸缩：把 $y = \sin x$ 向左移 $\varphi$ 个单位得 $y = \sin(x + \varphi)$，再把横坐标压缩为原来的 $1/\omega$ 倍，即以 $\omega x$ 替换 $x$，得 $y = \sin(\omega x + \varphi)$。

先伸缩后平移：把 $y = \sin x$ 的横坐标压缩为 $1/\omega$ 得 $y = \sin \omega x$，再向左移 $d$ 个单位得 $y = \sin\bigl(\omega(x + d)\bigr) = \sin(\omega x + \omega d)$。要它等于 $y = \sin(\omega x + \varphi)$，须取 $d = \varphi/\omega$。

差别的根源是压缩发生在平移之前还是之后。横坐标压缩为 $1/\omega$ 后，横轴上每移动一个单位，相位增加 $\omega$ 个单位；同样的相位量 $\varphi$，只需 $\varphi/\omega$ 的位移就能凑出。

3 · 五点法与参数反求

作图时不必逐点描：令相位 $\omega x + \varphi$ 依次取 $0$、$\pi/2$、$\pi$、$3\pi/2$、$2\pi$，解出五个横坐标 $x = (t - \varphi)/\omega$，对应的纵坐标依次是 $b$、$b + A$、$b$、$b - A$、$b$。这五点是曲线与中轴的交点及波峰波谷，相邻两点的横向间隔恒为 $T/4$，连起来即得一个完整周期的形状，此即五点法。

反过来，从图象读参数也走这五点：$A$ 与 $b$ 由最高点和最低点的纵坐标解出，$T$ 由相邻两个同类点的间隔读出并换算成 $\omega = 2\pi/T$，最后把任意一个已知点代回 $\omega x + \varphi$ 定出 $\varphi$。$\varphi$ 只在模 $2\pi$ 的意义下确定，通常约定取 $|\varphi| < \pi$ 的那一个。

4 · 参考文献

1. Amplitude. Wikipedia. 振幅的几种口径，正弦型函数里取 $|A|$。https://en.wikipedia.org/wiki/Amplitude
2. Phase (waves). Wikipedia. 相位与初相，以及相位差换算成位移时的 $1/\omega$ 因子。https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_(waves)
3. Simple harmonic motion. Wikipedia. 简谐振动的一般形式与四个参数的物理含义。https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion