数学 / 三角函数 · 从角到波 / 诱导公式与终边的对称 待审核 9 / 13
π±α\pi \pm \alpha · −α-\alpha · 2kπ+α2k\pi + \alpha · π/2±α\pi/2 \pm \alpha

诱导公式与终边的对称

三角函数值由终边与单位圆的交点决定，与角本身转了多少圈无关。把一个角作对称或旋转，终边随之搬到新位置，交点坐标按同样的方式变换，函数值之间的关系也就跟着确定下来。这类把任意角的三角函数值化归到锐角的等式叫诱导公式 (reduction formula)。它们看似有十来条要记，来历却只有几种点变换。

1 · 终边相同的角

终边相同的角相差 2π2\pi 的整数倍，交点是同一个点，三个函数值逐一相等：

sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α,cos⁡(2kπ+α)=cos⁡α,k∈Z\sin(2k\pi + \alpha) = \sin\alpha,\qquad \cos(2k\pi + \alpha) = \cos\alpha,\qquad k \in \mathbb{Z}

这一组不改变任何东西，它的作用是把任意大的角先卷回一圈之内。剩下的工作是把 [0, 2π)[0,\ 2\pi) 内的角化归到 [0, π/2][0,\ \pi/2]，那才是后面几组公式承担的事。

2 · 坐标轴与原点的对称

设 α\alpha 的终边交单位圆于 P(x, y)P(x,\ y)。三种最基本的对称各自搬出一个新点：

  • 关于 xx 轴对称，PP 变成 (x, −y)(x,\ -y)，对应的角是 −α-\alpha；
  • 关于 yy 轴对称，PP 变成 (−x, y)(-x,\ y)，对应的角是 π−α\pi - \alpha；
  • 关于原点对称，PP 变成 (−x, −y)(-x,\ -y)，对应的角是 π+α\pi + \alpha。

横坐标是余弦、纵坐标是正弦，把坐标的变化读出来就是公式本身。xx 轴对称只翻纵坐标，给出 sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha 与 cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha；yy 轴对称只翻横坐标，给出 sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha 与 cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha；原点对称两个坐标都翻，两个函数值同时变号。

图 2-1 · 一个角与它经诱导公式变换后的终边同屏显示，绿色标出所依据的对称轴或对称中心。可切换公式组并拖动 α，观察两个交点的坐标如何互相决定。

3 · 直线 y = x 与四分之一圈旋转

π/2−α\pi/2 - \alpha 这一组的几何来历与前三组不同：它是关于直线 y=xy = x 的反射，点 (x, y)(x,\ y) 变成 (y, x)(y,\ x)。横纵坐标互换，读出来就是余弦与正弦互换：

sin⁡(π/2−α)=cos⁡α,cos⁡(π/2−α)=sin⁡α\sin(\pi/2 - \alpha) = \cos\alpha,\qquad \cos(\pi/2 - \alpha) = \sin\alpha

π/2+α\pi/2 + \alpha 常被写成 π/2−(−α)\pi/2 - (-\alpha)，先关于 xx 轴反射再关于 y=xy = x 反射。两次反射复合的结果不再是反射，而是旋转：点 (x, y)(x,\ y) 落到 (−y, x)(-y,\ x)，正是绕原点逆时针转四分之一圈。由此得到 sin⁡(π/2+α)=cos⁡α\sin(\pi/2 + \alpha) = \cos\alpha 与 cos⁡(π/2+α)=−sin⁡α\cos(\pi/2 + \alpha) = -\sin\alpha。

注 ·「π/2+α\pi/2 + \alpha 是关于某条直线的对称」是一个流传较广的误说。反射把定向反过来，旋转保持定向，两次反射复合必然保定向，所以它只能是旋转。核对方式很直接：α\alpha 与 π/2+α\pi/2 + \alpha 的角平分线是 π/4+α\pi/4 + \alpha，随 α\alpha 而动，不存在一条固定的对称轴。

4 · 口诀的几何出处

「奇变偶不变，符号看象限」这句口诀把上面几组压成一条规则。把待化简的角统一写成 k⋅π/2±αk \cdot \pi/2 \pm \alpha，口诀的两半各对应一件已经证过的事。

前半句管函数名。kk 为偶数时变换是绕原点转半圈的整数倍，横纵坐标要么原样、要么整体变号，坐标的角色没有互换，函数名不变；kk 为奇数时变换含一次横纵坐标互换，正弦与余弦对调，tan⁡\tan 与 cot⁡\cot 同理。后半句管符号。把 α\alpha 当作锐角，看变换后的终边落在第几象限，再取原函数在该象限的正负号——这个符号与 α\alpha 的真实大小无关，因为公式两端对一切 α\alpha 成立，取锐角只是选一个便于判断象限的代表。

图 4-1 · 六组公式的右端与变换后终边所在的象限并列。可拖动锐角 α 观察象限随之改变，而每一组的符号与函数名保持不变。

注 · 六组各含正弦余弦两条，共十二条等式，在双精度下逐条核验过：α\alpha 以 0.1°0.1° 为步长扫过 [0°, 360°][0°,\ 360°]，量两端之差的最大绝对值。结果并不齐平。−α-\alpha 那一组的偏差恒为 00，取相反数只翻符号位，Math.sin 拿到的参数是精确的相反数；π/2−α\pi/2 - \alpha 组最小，只有 1.11e-16；最大的两条都出在 2kπ+α2k\pi + \alpha 组，1.138e-15。根源不在公式而在参数：Math.PI 只是 π\pi 的双精度近似，2 * Math.PI + a 这个和早已不是数学上的 2π+α2\pi + \alpha。这也是绘图取样时宁可对 α\alpha 直接求值、而不先加 2π2\pi 再求值的理由。

5 · 化归的固定路线

诱导公式给出一条机械可执行的化归路线：先用 2kπ+α2k\pi + \alpha 卷回一圈之内，再按角落在哪个象限选一组对称把它送进 [0, π/2][0,\ \pi/2]。这条路线不依赖记忆十来个等式，只依赖记住四种点变换与象限符号表。与 同角三角函数的基本关系 合起来，任意角的求值问题就都归到了锐角上。

6 · 参考文献

  1. List of trigonometric identities. Wikipedia. 恒等式总表，含 shifts and reflections 一节即诱导公式。https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
  2. Reflection (mathematics). Wikipedia. 反射改变定向，两次反射复合为旋转。https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_(mathematics)
  3. Rotation (mathematics). Wikipedia. 平面旋转保持定向这一性质。https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_(mathematics)