数学 / 三角函数 · 从角到波 / 同角三角函数的基本关系 待审核 8 / 13
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 · tan⁡α=sin⁡α/cos⁡α\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha

同角三角函数的基本关系

单位圆与三角函数定义 把 sin⁡α\sin\alpha、cos⁡α\cos\alpha、tan⁡α\tan\alpha 三者系在同一个交点 PP 上：前两个是 PP 的两个坐标，第三个是坐标之比。既然出自同一个点，三者之间就存在与 α\alpha 的具体取值无关的恒等关系。这类关系的来源只有两处：PP 落在单位圆上这一事实，以及正切的定义式本身。

1 · 单位圆上的勾股定理

设 α\alpha 的终边与单位圆交于 P(cos⁡α, sin⁡α)P(\cos\alpha,\ \sin\alpha)，过 PP 向 xx 轴作垂线，垂足记作 MM。直角三角形 OMPOMP 的两条直角边长分别是 ∣cos⁡α∣|\cos\alpha| 与 ∣sin⁡α∣|\sin\alpha|，斜边 OPOP 是单位圆的半径，长度恒为 11。勾股定理写出来就是平方关系 (Pythagorean identity)：

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

终边落在坐标轴上时三角形退化成一条线段，勾股定理无从谈起，但交点坐标仍满足圆的方程 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1。等式对一切角成立，包括那些三角形画不出来的角。

图 1-1 · 单位圆上以 ∣cos⁡α∣|\cos\alpha| 与 ∣sin⁡α∣|\sin\alpha| 为直角边、半径为斜边的直角三角形。可拖动 α\alpha 观察两条直角边此消彼长，以及双精度下平方和在末位上的波动。

注 · 平方关系在双精度浮点下不是恒等式。以 1°1° 为步长扫过 [−720°, 720°][-720°,\ 720°]，Math.sin 与 Math.cos 算出的 sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha 与 11 的最大偏差是 2.220446049250313e-16，恰好等于 Number.EPSILON；把步长加密到 0.001°0.001° 扫满一圈，上界仍是同一个数。图 1-1 直接把这个和显示到小数点后 17 位，末位的跳动是可见的。trig.test.ts 里那条断言写的是「不超过 Number.EPSILON」，而这是量出来的界，不是推出来的界。

2 · 商数关系与它的失效点

正切按定义就是交点纵坐标与横坐标之比，代入 PP 的坐标即得商数关系 (quotient identity) tan⁡α=sin⁡α/cos⁡α\tan\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha。它与平方关系的适用范围不同：平方关系对一切角成立，商数关系在 cos⁡α=0\cos\alpha = 0 处失效，也就是 α=π/2+kπ\alpha = \pi/2 + k\pi 这一串角。

把平方关系两端同除以 cos⁡2α\cos^2\alpha，得到常用的派生式 1+tan⁡2α=1/cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = 1 / \cos^2\alpha，它继承了商数关系的定义域限制。

3 · 知一求二的符号判定

已知 sin⁡α\sin\alpha 求 cos⁡α\cos\alpha，平方关系只给出 cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}，正负两个候选都满足等式。挑走其中一个的不是代数，而是几何：一条水平直线 y=sin⁡αy = \sin\alpha 与单位圆交于左右两点，它们分处两个象限，α\alpha 在哪个象限就取哪一个。

图 3-1 · 一个已知函数值在单位圆上截出的两个候选交点。可切换已知量与象限，观察哪一个交点被留下，以及象限与已知值符号相斥时无解的情形。

警示 · 象限先于开方。sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6 且 α\alpha 在第二象限时 cos⁡α=−0.8\cos\alpha = -0.8，落掉负号是这类题最常见的失分点。第二处易错在数值实现上：由 sin⁡α\sin\alpha 反求 cos⁡α\cos\alpha 走 1−s2\sqrt{1 - s^2}，当 ∣s∣|s| 逼近 11 时被开方数是两个相近数之差，有效位大量抵消。实测 s=0.99999s = 0.99999 时该式与 cos⁡(arcsin⁡s)\cos(\arcsin s) 的相对偏差已到 2.2×10−132.2 \times 10^{-13}，s=0.9999999s = 0.9999999 时到 2.0×10−112.0 \times 10^{-11}，绝对误差看着仍是 10−1610^{-16} 量级，相对误差却涨了五个数量级。

4 · 化简与证明中的着手处

同角关系把三个函数值压缩成一个自由度：给定象限，任意一个函数值都能定出另外两个。化简与证明因此有了固定的着手处——把 tan⁡\tan 换成 sin⁡/cos⁡\sin / \cos 通分，或者在需要的位置补一个 sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha 当作 11。诱导公式与终边的对称 处理的是另一个方向的问题：不同的角之间，函数值如何相互换算。

5 · 参考文献

  1. Pythagorean trigonometric identity. Wikipedia. 平方关系的多种证明与派生式。https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_trigonometric_identity
  2. List of trigonometric identities. Wikipedia. 同角关系与派生式的完整清单。https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
  3. Loss of significance. Wikipedia. 1−s2\sqrt{1 - s^2} 在 ∣s∣→1|s| \to 1 时的相消损失。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance