vector · 三角形 / 平行四边形法则 · λa

向量的概念与线性运算

向量(vector)是既有大小、又有方向的量。几何上，它是一条有向线段：线段的长度就是它的大小(magnitude)，记作 |a|（也称模）；箭头的朝向就是它的方向(direction)。与只有大小的标量(scalar)（如长度、质量）相比，向量多出「方向」这一维信息。

向量与位置无关：只要方向相同、模相等，两条有向线段就表示同一个向量——把它平移到任何起点都不改变它本身。这条「自由平移」的性质，正是下面加法、减法能用「首尾相接」「共起点取对角线」等作图法成立的根据。

1 · 加法与减法：三角形法则、平行四边形法则

a + b · a − b

两个向量相加，几何上有两种等价作图。三角形法则：把 b 平移到 a 的终点，首尾相接，从 a 的起点指向 b 的终点即得 a + b。平行四边形法则：把 a、b 移到同一起点，以两者为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线即 a + b。减法 $a - b$ 则是从 b 的终点指向 a 的终点的向量——箭头指向被减向量 a。拖动画布上 a、b 的端点，切换下方作图法观察。

两种加法法则算出的 a + b 完全相同：三角形法则里的「平移 b 接到 a 末端」，与平行四边形法则里「平行四边形的一条邻边」是同一条线段。可见向量加法满足交换律 a + b = b + a：先走 a 再走 b，与先走 b 再走 a，终点一致。

2 · 数乘：λa 只伸缩、不转向（λ < 0 除外）

\lambda a

|\lambda a| = |\lambda|\,|a|

实数 $\lambda$ 与向量 a 的数乘(scalar multiplication) $\lambda a$ 仍是向量：它与 a 共线，模变为原来的 $|\lambda |$ 倍，即 $|\lambda a| = |\lambda ||a|$ 。方向上， $\lambda > 0$ 时与 a 同向， $\lambda < 0$ 时反向， $\lambda = 0$ 时得零向量。拖动 a 的端点、滑动 $\lambda$ ，观察 $\lambda a$ 如何沿 a 所在直线伸缩与翻转。

数乘是线性运算的核心：它与加法一起，让「用几个基准向量的伸缩与叠加表示任意向量」成为可能。当把向量放进坐标系后，数乘就化为对每个分量同乘 $\lambda$ ——见坐标表示。