vector · 三角形 / 平行四边形法则 · λa

向量的概念与线性运算

向量 (vector) 是既有大小、又有方向的量。几何上它是一条有向线段：线段的长度就是它的大小 (magnitude)，记作 $|a|$ ，也称模；箭头的朝向就是它的方向 (direction)。与只有大小的标量 (scalar)（如长度、质量）相比，向量多出「方向」这一维信息。

注 · 向量与位置无关：只要方向相同、模相等，两条有向线段就表示同一个向量——把它平移到任何起点都不改变它本身。这条自由平移的性质，正是下面加法、减法能用「首尾相接」「共起点取对角线」等作图法成立的根据。

1 · 加法与减法的两种作图

a + b · a − b

两个向量相加，几何上有两种等价作图。三角形法则：把 $b$ 平移到 $a$ 的终点，首尾相接，从 $a$ 的起点指向 $b$ 的终点即得 $a + b$ 。平行四边形法则：把 $a$ 、 $b$ 移到同一起点，以两者为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线即 $a + b$ 。减法 $a - b$ 则是从 $b$ 的终点指向 $a$ 的终点的向量，箭头指向被减向量 $a$ 。

图 1-1 · 向量加法的三角形法则与平行四边形法则，以及减法

a - b

的箭头方向。可拖动

a

、

b

的端点并切换作图法，观察两种法则给出同一个

a + b

。

两种加法法则算出的 $a + b$ 完全相同：三角形法则里的「平移 $b$ 接到 $a$ 末端」，与平行四边形法则里的一条邻边是同一条线段。由此也可见向量加法满足交换律 $a + b = b + a$ ——先走 $a$ 再走 $b$ ，与先走 $b$ 再走 $a$ ，终点一致。

2 · 数乘 λa

\lambda a

|\lambda a| = |\lambda|\,|a|

实数 $\lambda$ 与向量 $a$ 的数乘 (scalar multiplication) $\lambda a$ 仍是向量：它与 $a$ 共线，模变为原来的 $|\lambda|$ 倍，即 $|\lambda a| = |\lambda||a|$ 。方向上， $\lambda > 0$ 时与 $a$ 同向， $\lambda < 0$ 时反向， $\lambda = 0$ 时得零向量。

图 2-1 · 数乘

\lambda a

沿

a

所在直线的伸缩，以及

\lambda

越过

0

时方向的翻转。可拖动

a

的端点并滑动

\lambda

观察模与方向的变化。

注 · 数乘是线性运算的核心：它与加法一起，让「用几个基准向量的伸缩与叠加表示任意向量」成为可能。当把向量放进坐标系后，数乘就化为对每个分量同乘 $\lambda$ ，见坐标表示。

3 · 参考文献

Euclidean vector. Wikipedia. 向量的定义、几何表示与自由平移。https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector
Vector addition. Wikipedia. 三角形法则与平行四边形法则的等价性。https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_addition
Scalar multiplication. Wikipedia. 数乘的定义与它对模和方向的作用。https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_multiplication