components · a = (x, y) · |a| = √(x²+y²)

坐标表示：向量就是一对坐标

向量的线性运算本来靠作图完成。给平面配上直角坐标系后，每个向量都能写成一对坐标 a = (x, y)——它表示从原点出发、水平走 x、竖直走 y 到达的那一点，也是这个向量沿 x 轴与 y 轴分解出的两个分量(components)。有了坐标，几何作图立刻化为逐分量的算术。

三条运算法则在坐标下都只是对分量分别操作：加法 $a + b = (x_1+x_2, y_1+y_2)$ ，数乘 $\lambda a = (\lambda x, \lambda y)$ ，模由勾股定理给出 $|a| = \sqrt (x^2+y^2)$ 。减法则是加上相反向量： $a - b = (x_1-x_2, y_1-y_2)$ 。所有作图法则的正确性，最终都由这几条坐标恒等式保证。

1 · 拖动向量，逐分量读出每一步计算

a + b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2)

|a| = \sqrt{x^2+y^2}

拖动 a、b 的端点（坐标自动吸附到整数格，便于读数），右下方逐分量列出加法、数乘与模的计算过程。滑动 $\lambda$ 观察数乘如何对每个分量同乘同一个系数。注意 |a| 一般是无理数——它是以 x、y 为直角边的直角三角形的斜边长。

坐标把「方向 + 大小」这种几何信息，翻译成了可直接计算的数对。此后向量的加减、数乘、乃至下一步的数量积，都不必再作图，套用分量公式即可——这正是解析几何用代数处理几何问题的基本思路。