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平面向量 · 从有向线段到数量积

向量(vector)与只有大小的标量(scalar)不同：它同时携带大小(magnitude)与方向(direction)。几何上把它画成一条有向线段——只要方向相同、长度相等，无论起点在哪，都是同一个向量。这一「与起点无关」的自由，正是向量运算得以成立的前提。

本系列分两条线推进。先看线性运算：加法的三角形法则与平行四边形法则、减法、数乘 λa，全部在可拖动的画布上即时成图。再把向量放进坐标系，运算随即化为逐分量的算术 a + b = (x₁+x₂, y₁+y₂)；最后引入数量积 a·b，用一个数同时刻画两向量的夹角与垂直关系。每页都可拖动向量端点，实时观察图形与读数如何联动。

向量与线性运算

向量是有向线段：方向相同、模相等即为同一向量，与起点无关。在此之上定义三种线性运算——加法（三角形 / 平行四边形法则）、减法、数乘 λa，它们都可在画布上拖动观察。

vector · 三角形 / 平行四边形法则 · λa

向量的概念与线性运算

向量 = 大小 + 方向，几何上是有向线段（方向相同、模相等即相等，与起点无关）。加法用三角形法则（首尾相接）或平行四边形法则（共起点、取对角线）；减法 a - b 指向被减向量；数乘 λ a 只伸缩不转向，λ < 0 时反向。拖动 a、b 两端点，实时观察 a + b、a - b 与 λ a。

 坐标与数量积

给平面配上坐标系后，向量成为一对坐标 (x, y)，线性运算化为逐分量算术；再由数量积 a·b 把长度、夹角与垂直统一进一个数——a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂。

components · a = (x, y) · |a| = √(x²+y²)

坐标表示：向量就是一对坐标

在坐标系里，向量 a = (x, y)。线性运算随即变成逐分量算术：a + b = (x₁+x₂, y₁+y₂)、λ a = (λ x, λ y)，模由勾股定理给出 |a| = √(x²+y²)。拖动向量（坐标吸附到整数格），读数逐分量列出每一步计算。

 dot product · a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂+y₁y₂

数量积：用一个数刻画夹角与垂直

数量积 a·b 有两种等价形式：几何式 |a||b|cosθ 与坐标式 x₁x₂ + y₁y₂，两者恒相等。它等于 b 在 a 方向上的投影(projection)长度乘以 |a|；由此夹角 cos θ = a·b/(|a||b|)，且 a·b = 0 ⟺ a ⊥ b。拖动两向量，对照两式、看投影虚线，接近垂直时高亮 a·b ≈ 0。

数量积的结果是标量，不是向量

a·b 读作「a 点乘 b」，但它算出来是一个数（标量），不再有方向——这也是它叫「数量积」的原因。别把它与结果仍是向量的运算（如三维里的叉积 cross product）混为一谈。正因为结果是标量，a·b 才能直接用来比较大小、判断正负：a·b > 0 表示夹角为锐角、< 0 为钝角、= 0 恰为直角。

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