Δf · 包络 · 调音

拍

波的叠加与干涉处理的是频率相同、相位差恒定的两个源，它们在空间各点给出固定不变的强弱分布。若两列波频率不同，任一点的相位差就随时间累积，强弱分布不再稳定。本页取最简的一种情形：同一点上叠加两个振幅相同、频率仅相差百分之几的分量，结果是响度周期性涨落的拍（beats）。

1 · 积化和差给出的两个时间尺度

两个分量在同一点叠加， $y=A\cos 2\pi f_1t + A\cos 2\pi f_2t$ 。积化和差把它改写成一个乘积：

y = 2A\cos\!\left(2\pi\frac{\Delta f}{2}t\right)\cos\!\left(2\pi \bar{f}t\right), \qquad \bar{f}=\frac{f_1+f_2}{2},\ \Delta f=f_1-f_2

这一步没有引入任何近似，只是三角恒等变形；core/beats.ts 里两种算法（直接相加与积化和差式）在十万个采样点上的最大偏差是 $6.77\times10^{-13}$ ，属双精度舍入量级。

改写的价值在于两个因子的时间尺度相差悬殊。 $f_1=440$ Hz、 $f_2=444$ Hz 时载波周期 $1/\bar{f}=2.262$ ms，而慢变因子的周期 $2/|\Delta f|=0.5$ s，相差 221 倍。听觉把快的那个因子听成音高（ $\bar{f}=442$ Hz，两个原频的平均值，而非其中任何一个），把慢的那个听成响度的起伏。

2 · 拍频等于 Δf

慢变因子 $\cos(2\pi\cdot\frac{\Delta f}{2}t)$ 的周期是 $2/|\Delta f|$ ，但耳朵与仪表响应的是振幅的绝对值 $|2A\cos(\cdots)|$ 。取绝对值把负的半周翻上去，周期随之折半：响度极大每 $1/|\Delta f|$ 秒出现一次，拍频（beat frequency） $f_{\text{beat}}=|\Delta f|$ ，是慢变因子频率的两倍。把 $\Delta f/2$ 当成拍频是本节最常见的算错。

核对这一点时踩到一个端点坑。countMaxima 在 $[0,4]$ s 内、 $\Delta f=4$ Hz 下数出 15 个极大，而 $\Delta f\cdot T=16$ 。差的那一个不是算错：极大点落在 $t=0,0.25,\dots,4.00$ 共 17 处，其中 $t=0$ 与 $t=4$ 在区间端点上，判据「比左右两侧都大」在端点无法成立。 $\Delta f\cdot T$ 数的是相邻极大之间的间隔数（16 个），比内部极大点数多一个。函数的文档因此改成只承诺内部极大数，而不是把端点凑进去——凑进去会让 $\Delta f=0$ 的退化情形给出错误的 1。

图 2-1 · 两分量之和与它的包络，载波取

20

Hz 量级以便画出。可调第二分量频率观察极大间隔随

\Delta f

变化，竖线标出响度极大的时刻，其密度是包络解析式周期的两倍。

注 · 拍与驻波是同一个结构的两种切法。驻波（见驻波与共振）取两列同频反向的波，乘积因子分别只含 $x$ 与只含 $t$ ，空间上出现固定不动的波节；拍取两列同向而频率略异的波，两个因子都只含 $t$ ，涨落发生在时间上。前者是空间的周期性消长，后者是时间的。

3 · 拍频不含符号

调音是拍最直接的用处：待调弦与标准音同时发声，拍越慢说明两者越接近，拍消失即为调准。这个判据比直接比较音高灵敏得多—— $0.2$ Hz 的频率差在 $440$ Hz 上是 $0.8$ 音分，远低于人耳的音高辨别阈，但它给出 5 s 一次的响度起伏，数得清楚。

代价是拍频只给出 $|\Delta f|$ ，符号被绝对值吃掉了。 $437.5$ Hz 与 $442.5$ Hz 相对 $440$ Hz 给出完全相同的 $2.5$ Hz 拍频，听不出弦在哪一侧。实际调音靠一次试探破解：稍微拉紧弦（频率必然升高），若拍变慢，说明原先偏低、方向正确；若拍变快，说明原先偏高，该松而非该紧。试探量若大到跨过标准音，拍频会先降到零再升回来，读数与原先相同，此时须换更小的试探量重来。

图 3-1 · 十秒窗口内的响度轮廓，实线为当前状态、虚线为试探性拉紧之后。可调待调弦频率与试探量，读数栏给出两次的拍频以及由二者之差推出的偏高或偏低判断。

4 · 从起伏到粗糙的过渡

$|\Delta f|$ 增大到一定程度后，「一个音在起伏」这个描述就不再适用。心理声学的实测给出大致的分界： $\Delta f$ 在 $10$ Hz 以内听成清晰的拍， $10$ 至 $50$ Hz 之间听成一种粗糙感（roughness），再大则分辨为两个独立的音高[3]。这些阈值与 $\bar{f}$ 有关而非固定值，根源是耳蜗的临界带宽（critical band）——两个分量落在同一临界带内才会相互作用产生粗糙感，超出则由不同的听觉滤波器分别处理。

分界不是物理量的突变。§1 的三角恒等式在 $\Delta f=200$ Hz 时仍严格成立，包络照旧存在、周期照旧是 $1/|\Delta f|$ ；变的只是听觉系统对它的解读。这也提醒本页的「拍」始终是两件事的合称：波形上振幅的周期性涨落是物理事实，把它听成单个音的强弱起伏则是感知的产物，两者在 $\Delta f$ 小时重合， $\Delta f$ 大时分道。

5 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 17. Wiley.
Rossing, T. D., Moore, F. R., & Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3rd ed.), Chapter 6. Addison-Wesley.
Plomp, R., & Levelt, W. J. M. (1965). Tonal consonance and critical bandwidth. The Journal of the Acoustical Society of America, 38(4), 548–560.