波的叠加与干涉

两列波相遇时，介质中每一点的位移由所有波共同决定。本页先给出适用于任意两列波的叠加原理，再把范围收窄到频率相同、相位差恒定的相干波源，推出干涉图案里振动加强与振动减弱的位置判据。

1 · 波的叠加原理

两列或多列波同时经过同一片介质时，任一点在任一时刻的位移是各列波单独存在时在该点引起位移的代数和（位移为矢量时，则取矢量和）——这就是叠加原理（superposition principle）。若 $y_1$、$y_2$ 是两列波各自单独引起的位移，叠加后的总位移

对任意时刻、任意位置都成立，不要求两列波频率相同、方向相同，也不要求都是简谐波。波离开重叠区域后各自保持原有的频率、波长与振幅继续传播——绳上两个相向而行的脉冲穿过彼此后，各自的形状与速度都不受影响，这与两个粒子碰撞后互相改变对方运动状态截然不同。

2 · 干涉：路程差决定强弱分布

两个波源频率相同、相位差恒定时，两者称为相干波源（coherent sources）。相干波源叠加的结果不再是杂乱起伏，而是空间中一套稳定的强弱分布，这就是干涉（interference）。

设两波源到平面上某点的距离分别为 $r_1$、$r_2$，路程差 $\Delta r = |r_1 - r_2|$。路程差满足

的位置振动加强，即相长干涉；满足

的位置振动减弱，即相消干涉。路程差恰为整数个波长的位置，两列波到达时波峰对波峰、波谷对波谷，叠加振幅是两者之和；路程差恰为半整数个波长的位置，波峰对波谷，若两波振幅相等，合振幅恰好为零。这套判据只依赖 $\Delta r$ 与 $\lambda$ 的比值，与观察点到两波源连线中点的距离无关。

叠加公式里两列波的振幅都取同一个常数，没有随传播距离衰减——真实点源的振幅按 $1/r$ 衰减（强度按 $1/r^2$），本页的场值公式只保留相位关系，不追求强度的真实比例。

图上的相长干涉线是一族以两波源为焦点的双曲线——这是路程差恒定这一条件本身的几何结果，对任意源距、任意波长都精确成立。教材里更常见的「等间距平行亮纹」图像，只是观察屏距波源足够远时对这族双曲线的远场近似：把观察屏放在距离 $D$ 处、横向偏移记为 $x$，路程差近似为 $\Delta r \approx xd/D$，由此导出常见的间距公式 $x_k \approx kD\lambda/d$。这条近似是否随 $D$ 增大而自动变准，实测结果和直觉不太一致：取 $d=1$、$\lambda=0.2d$，固定看第 $k=1$ 条亮纹，$D/d$ 从 $2$ 增到 $100$，公式给出的位置与精确解之间的相对误差稳定在 $2.0\%$–$2.1\%$，并不趋于零——因为这一级次亮纹的偏折角 $x/D\approx k\lambda/d$ 只由 $k$ 与 $\lambda/d$ 决定，与 $D$ 本身无关，屏幕挪得再远也不会单独改善它；真正收窄误差要靠减小 $\lambda/d$：同样固定 $D/d=20$，$\lambda/d$ 从 $0.2$ 降到 $0.01$，误差从 $2.05\%$ 降到 $0.036\%$。

3 · 参考文献

1. Young, T. (1804). Experiments and calculations relative to physical optics. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 94, 1–16.
2. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 17 (Waves—II). Wiley.