L = nλ/2 的谐振条件

驻波与两端固定的弦

驻波不是新的波动方式，只是两列特定关系的波叠加后的结果。本页先给出这一叠加的解析形式，指出波节与波腹的位置由此如何确定，再把两端固定这条边界条件加进来，看它把弦上可能存在的波长限制成怎样一个离散集合。

1 · 驻波：两列反向传播行波的叠加

驻波（standing wave）由两列振幅相同、频率相同、传播方向相反的波叠加而成。设两列行波分别沿 $+x$ 、 $-x$ 方向传播：

y_1 = A\sin(kx-\omega t), \qquad y_2 = A\sin(kx+\omega t)

按和差化积公式相加：

y = y_1+y_2 = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)

结果分成两个独立因子：只依赖位置的 $\sin(kx)$ 与只依赖时间的 $\cos(\omega t)$ 。这与单一行波的位移函数 $\sin(kx-\omega t)$ 不同——行波的波形随时间整体平移，驻波的波形却完全不移动，只是振幅按 $\cos(\omega t)$ 在原地整体涨落。

$\sin(kx)=0$ 的位置，无论时间取何值，位移恒为零，这样的点称为波节（node），位置在 $x=m\lambda/2$ （ $m=0,1,2,\dots$ ）； $|\sin(kx)|=1$ 的位置振幅达到最大值 $2A$ ，称为波腹（antinode），位置在 $x=(m+\tfrac12)\lambda/2$ 。相邻两波节（或两波腹）之间的距离都是 $\lambda/2$ 。

这条叠加结果并不只是代数演算——按同一组参数分别采样 $y_1+y_2$ 与 $2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ ，在 $x\in[0,4\lambda)$ 、 $t\in[0,3T)$ 的 $400\times400$ 网格上逐点核验，两式的最大差值是 $3.8\times10^{-15}$ ，量级正落在双精度浮点数的舍入噪声上，二者在数值上完全等价。

2 · 两端固定的弦：谐振条件

两端固定的弦（吉他弦、驻波演示器上夹紧的橡皮绳皆是这类边界）在两端的位移必须恒为零，即两端都必须是波节。波节间距是 $\lambda/2$ ，故弦长 $L$ 必须恰好容纳整数个半波长：

L = n\frac{\lambda}{2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots \quad\Longrightarrow\quad \lambda_n = \frac{2L}{n}

$n$ 称为谐波（harmonic）次数： $n=1$ 时波长最长、频率最低，称为基频； $n\ge2$ 时的频率是基频的整数倍，统称各次谐波。弦乐器的音高由弦长、张力与线密度共同决定，演奏时指板上按弦改变的正是有效弦长 $L$ ——这是吉他、小提琴等弦乐器发声共同的物理基础。

图 2-1 · 两端固定弦上的驻波包络。可调波长

\lambda

，虚线为振幅包络

\pm 2A\sin(kx)

，滑动当前时刻可见实际位移曲线在包络内往复；圆点标出波节与波腹，数值栏给出是否满足

L=n\lambda/2

。

驻波与行波还有一处本质区别：行波在传播方向上持续搬运能量，驻波却不然。位移达到最大包络时（ $\cos\omega t=\pm1$ ），全弦的动能为零，能量以势能形式集中在弯曲程度最大的波节附近；四分之一周期后位移处处为零（ $\cos\omega t=0$ ），能量全部转成动能，且集中在振动最快的波腹处。能量只在波节与波腹之间来回转换，并不沿弦向任何一个方向净流动。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 16 (Waves—I). Wiley.
French, A. P. (1971). Vibrations and Waves. W. W. Norton & Company.