阻尼振动与受迫共振

简谐运动的描述与简谐运动的能量两页里的振子一旦起振就永不停歇，总机械能 $E=\tfrac12kA^2$ 是一个常数。现实中的摆钟会停、拨响的琴弦会静下来，说明模型漏掉了一项耗散。本页把速度反向的阻力项补进方程，看它如何把等幅振动改造成衰减振动；再补上一项周期性外力，考察系统在被持续驱动下最终落到什么状态，以及响应幅值在哪个驱动频率上达到最大。

1 · 阻尼比与解的分支

设阻力与速度成正比、方向相反，写作 $-bv$，牛顿第二定律给出

三个物理参数 $m$、$b$、$k$ 里只有两个组合真正影响解的形状：固有角频率 $\omega_0=\sqrt{k/m}$ 与阻尼率 $\gamma=b/(2m)$，二者同为角频率量纲。它们的比值 $\zeta=\gamma/\omega_0$ 称为阻尼比（damping ratio），是一个纯数，解的定性行为完全由它决定：

• $\zeta<1$（欠阻尼）：$x(t)=A_0e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\varphi)$，仍在振荡，但角频率降为 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$，振幅被 $e^{-\gamma t}$ 的包络压下去
• $\zeta=1$（临界阻尼，critical damping）：$x(t)=A_0(1+\gamma t)e^{-\gamma t}$，不再振荡，且带一个 $t$ 的一次项
• $\zeta>1$（过阻尼）：两个实指数之和，衰减由其中较慢的那支主导

三支不是同一个式子在不同参数下的取值，而是特征方程 $r^2+2\gamma r+\omega_0^2=0$ 判别式变号后的三种根型；临界阻尼那支的一次项正是重根的标志。

欠阻尼下相邻两个同向峰值之比是一个与时刻无关的常数 $e^{-\gamma T_d}$，其中 $T_d=2\pi/\omega_d$。取 $\omega_0=4$ rad/s、$\zeta=0.05$，core/resonance.ts 算出 $T_d=1.57276$ s、峰值序列 $1.000000$、$0.730115$、$0.533068$、$0.389201$，逐项之比与 $e^{-\gamma T_d}=0.730115$ 完全一致；$\zeta=0.125$ 时这个比值降到 $0.453116$。取对数即得对数减缩率 $\delta=\gamma T_d$，从实测波形反推阻尼系数靠的就是这个量。

品质因数（quality factor）$Q=\omega_0/(2\gamma)$ 是同一件事的另一种记法：$Q$ 越大，包络衰减得越慢。$\gamma$ 在本页一律指振幅的衰减率，而能量正比于振幅平方、按 $e^{-2\gamma t}$ 衰减，两者差一个因子 2——文献里 $Q$ 的定义按能量口径写成 $\omega_0 E/P_{\text{loss}}$，与本页的写法等价，但推导时容易漏掉这个 2。

2 · 整定时间的最优阻尼

「临界阻尼回到静止最快」是这套内容里最常见的一句结论。它成立与否取决于「回到静止」怎么定义。若指包络的渐近衰减率，结论正确：$\zeta<1$ 时衰减率是 $\gamma=\zeta\omega_0$，随 $\zeta$ 增大而增大；$\zeta>1$ 时慢支的衰减率 $\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$ 反而随 $\zeta$ 增大而减小，两者在 $\zeta=1$ 处交汇取到最大。

工程上更常用的判据是整定时间（settling time）$t_s$：位移最后一次离开 $\pm\varepsilon A_0$ 容差带的时刻。按这个判据扫描 $\zeta\in[0.5,1.3]$（$\omega_0=4$ rad/s），最优值不在 1：

$\pm2\%$ 判据下最优阻尼比 0.78 的整定时间比临界阻尼快 38%。原先按教科书的说法预期这张表的最优列全是 1.000，实测三行都落在 0.7 与 0.85 之间——差别的来源是欠阻尼允许一次过冲：只要过冲的幅度还在容差带内，它就不计入 $t_s$，而换来的是更早的第一次穿越。容差带越窄，允许的过冲越小，最优 $\zeta$ 越靠近 1，这也解释了表中最优值随 $\varepsilon$ 减小而单调上升。门把手回位、硬盘磁头定位这类机构的阻尼通常就整定在 0.7 附近，而非临界。

3 · 受迫振动的稳态响应

加一项周期性外力 $F_0\cos\omega t$，方程变为

通解是齐次解与特解之和。齐次解正是上一节那三支，全都含 $e^{-\gamma t}$ 因子，$t\gg1/\gamma$ 后衰减殆尽；剩下的特解与驱动力同频、不衰减，称为受迫振动（forced oscillation）的稳态解：

稳态振动的频率是驱动频率 $\omega$，不是固有频率 $\omega_0$——固有频率只出现在幅值与相位的表达式里。相位滞后 $\delta=\arctan\dfrac{2\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$ 取值于 $[0,\pi]$，三个区间的行为截然不同：$\omega\ll\omega_0$ 时 $\delta\to0$，位移几乎与驱动力同步，振子只是被慢慢推着走；$\omega\gg\omega_0$ 时 $\delta\to\pi$，位移与驱动力反相，惯性主导；$\omega=\omega_0$ 时 $\delta$ 恒等于 $\pi/2$，与阻尼大小无关，因为此时分母的实部 $\omega_0^2-\omega^2$ 严格为零。

4 · 共振峰的位置与带宽

把 $A(\omega)$ 对 $\omega$ 求极值，得到位移共振（resonance）峰的位置

它落在固有频率下方，且只在 $\gamma<\omega_0/\sqrt{2}$（即 $\zeta<0.707$）时存在；$\zeta$ 越过 $1/\sqrt{2}$ 后根号内变负，$A(\omega)$ 从 $\omega=0$ 起单调下降，驱动频率再怎么调也放大不了静态位移 $F_0/(m\omega_0^2)$。

峰位与 $\omega_0$ 的差距在小阻尼下小到可以忽略。$\omega_0=4$ rad/s 时，$\zeta=0.05$ 给出 $\omega_r=3.989987$，与 $\omega_0$ 只差 0.25%，对应的幅值 $0.625783$ 与 $A(\omega_0)=0.625000$ 差 0.13%；到 $\zeta=0.5$ 峰位已跌到 $2.828427$，与 $\omega_0$ 差 29%。工程上把共振频率直接当作 $\omega_0$ 用，隐含的前提是 $\zeta$ 足够小。

同一条曲线换个纵坐标，峰位就变了。稳态速度幅值 $\omega A(\omega)$ 的峰精确落在 $\omega=\omega_0$ 上，与阻尼无关：数值搜索在 $\gamma=0.2$、$1$、$2$、$3.5$ 四种阻尼下都给出峰位 $4.0000$，峰值逐一等于 $F_0/(2m\gamma)$。速度共振同时也是功率共振——驱动力做功的平均功率正比于速度幅值的平方，故功率吸收峰也在 $\omega_0$。

速度曲线还有一条精确性质：功率降到峰值一半的两个频率之差恒为 $2\gamma$。数值求根给出 $\gamma=0.2$ 时两点 $3.8050$ 与 $4.2050$、$\gamma=1$ 时 $3.1231$ 与 $5.1231$、$\gamma=2$ 时 $2.4721$ 与 $6.4721$，三组差值分别是 $0.4000$、$2.0000$、$4.0000$，逐位等于 $2\gamma$。这个关系在 $\zeta=0.5$ 这种位移峰已明显偏移的情形下仍精确成立，所以从实测曲线反推阻尼时，量速度曲线的半功率带宽比量位移曲线的峰位更可靠。带宽与峰位的比值 $\omega_0/\Delta\omega=Q$，把 §1 定义的品质因数与曲线的尖锐程度接上了。

5 · 参考文献

1. Taylor, J. R. (2005). Classical Mechanics, Chapter 5. University Science Books.
2. French, A. P. (1971). Vibrations and Waves, Chapters 3–4. W. W. Norton.
3. Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. (2019). Feedback Control of Dynamic Systems (8th ed.), Chapter 3. Pearson.