物理 / 振动与波 · 从简谐运动到驻波 / 多普勒效应 待审核 6 / 9
源动与观察者动 · 马赫锥

多普勒效应

机械波的产生与传播 §3 给出 v=λfv=\lambda f 并指出频率由振源决定、波速由介质决定，两者互不干涉。那一页默认源与观察者都相对介质静止。一旦其中之一动起来，接收到的频率就不再等于源发出的频率——这是多普勒效应（Doppler effect）。本页先分清源动与观察者动这两种成因（它们的公式不对称），再用波前圆族看源速逼近并超过波速时发生什么，最后处理最贴近日常听觉的情形：源沿直线从旁侧掠过。

1 · 源动与观察者动的不对称

设声速 vv、源频 f0f_0，两种情形分别处理。

源以 vsv_s 朝观察者运动时，它每发出一个波前就往前追一小段，相邻两个波前之间的距离被压短为 λ′=(v−vs)/f0\lambda'=(v-v_s)/f_0。波速仍由介质决定、不受源的运动影响，于是观察者接收到的频率是

f′=vλ′=f0 vv−vsf' = \frac{v}{\lambda'} = f_0\,\frac{v}{v - v_s}

观察者以 vov_o 朝静止的源运动时，波长完全没变，改变的是观察者与波前的相对接近速率——从 vv 增到 v+vov+v_o，单位时间内迎面撞上的波前数目按同一比例增加：

f′=v+voλ=f0 v+vovf' = \frac{v + v_o}{\lambda} = f_0\,\frac{v + v_o}{v}

两式的形式不同：源速进分母，观察者速进分子。同样 25 m/s 的接近速度、同样 800 Hz 的源，core/doppler.ts 算出源动时是 863.4921 Hz、观察者动时是 858.8235 Hz，差 4.67 Hz，折合 9.39 音分，超过人耳约 5 音分的音高辨别阈。这不是近似误差，而是两种物理机制的真实区别。

极端情形把这层不对称暴露得更彻底。源以声速接近时分母为零，公式给出无穷大；观察者以声速远离时分子为零，公式给出 0 Hz。后者有清晰的物理意义：观察者与波前同速，一个波前也追不上他。前者的无穷大则是模型失效的信号，真实情况见下一节。

f′=f0 v+vov−vsf' = f_0\,\frac{v + v_o}{v - v_s}

这条合式只在源、观察者、连线三者共线时成立。vsv_s 与 vov_o 的符号约定为「靠近对方为正」。

2 · 波前圆族与马赫锥

一个波前一旦离开源，就以速度 vv 从发射点向各方向均匀扩散，与源此后怎么运动无关。把过去每隔一个周期发出的波前同时画出来，就得到一族圆心沿源的轨迹排开、半径按发射先后递减的圆。前方圆心与圆周挤在一起（波长压短），后方拉开（波长拉长），§1 的两条公式在这张图上是同一件事的两个方向。

源速与波速之比 Ma=vs/vMa=v_s/v 称为马赫数（Mach number）。Ma<1Ma<1 时源始终落在自己最新的波前之内；Ma=1Ma=1 时所有波前恰在源的位置相切，前方波长压缩到零；Ma>1Ma>1 时源跑到了全部波前之前，圆族出现公切线，半角

μ=arcsin⁡1Ma\mu = \arcsin\frac{1}{Ma}

的圆锥面之外完全无声，锥面上则是各波前叠加而成的激波。这个角度只由 MaMa 决定：Ma=1.5Ma=1.5 给出 41.810°41.810°，Ma=2Ma=2 恰好给出 30°30°。锥的存在也解释了 §1 那个无穷大——Ma≥1Ma\ge1 后「正前方的接收频率」这个量根本不存在，因为正前方收不到任何波。

图 2-1 · 同一时刻的波前圆族，长度按最老波前的半径归一。可调源速比 β=vs/v\beta=v_s/v 观察前后波前疏密的变化，越过 11 后圆族的公切线即马赫锥，读数栏给出马赫角。

3 · 掠过旁侧一点时的频率曲线

日常听到的多普勒效应几乎从不是共线的：车沿马路开过，人站在路边若干米处。此时源与观察者的连线方向持续改变，vsv_s 应取沿连线的分量，而声音又有传播延迟——听到的是若干毫秒前发出的波。把这两件事一并算清，只需一次链式求导。

设源沿 xx 轴以 vsv_s 匀速前进、t=0t=0 时位于原点，观察者固定在 (0,d)(0,d)。tet_e 时刻发出的波前在 ta=te+Re/vt_a=t_e+R_e/v 抵达观察者，其中 Re=(vste)2+d2R_e=\sqrt{(v_st_e)^2+d^2} 是发射点到观察者的距离。接收频率等于源频除以两个时间尺度的比：

f′f0=(dtadte)−1=(1+vsv⋅vsteRe)−1\frac{f'}{f_0} = \left(\frac{\mathrm{d}t_a}{\mathrm{d}t_e}\right)^{-1} = \left(1 + \frac{v_s}{v}\cdot\frac{v_st_e}{R_e}\right)^{-1}

括号里的 vste/Rev_st_e/R_e 是发射时刻源到观察者连线与运动方向夹角的余弦。te<0t_e<0（源还没到最近点）时它为负，分母小于 1，听到升调；te=0t_e=0 时分母恰为 1，听到的正是源频。

这个式子里的角度必须取发射时刻的几何，取接收时刻的会算错。以 f0=800f_0=800 Hz、vs=25v_s=25 m/s、d=10d=10 m 为例，两种口径的曲线最大相差 4.3620 Hz，折合 9.41 音分，落在人耳可辨的范围内。差别的来源是传播延迟 Re/vR_e/v 本身随时间变化，而接收时刻口径等于假装延迟是个常数。

这个 4.3620 Hz 是改过一次的数字。初稿按 te∈{−2,−1,−0.5,−0.2,0,0.2,… }t_e\in\{-2,-1,-0.5,-0.2,0,0.2,\dots\} 这样的稀疏取值扫了一遍，最大值出现在 te=0t_e=0、读数 4.2905 Hz，于是正文写成「最大差出现在最近点」。以 10−610^{-6} s 的步长重扫后峰位落在 te=−0.0517t_e=-0.0517 s、值 4.3620 Hz——峰在源到达最近点之前，稀疏采样恰好跨了过去。改的是正文而非实现：稀疏扫描本身没算错任何一点，错在把采样点上的最大值当成了函数的最大值。

延迟还带来一个可核对的偏移：听到源频 f0f_0 的时刻不是源经过最近点的时刻，而是晚了 d/vd/v。d=10d=10 m 时这个延迟是 0.02940.0294 s，那一刻源已经越过最近点 0.7350.735 m。

频率的上下限 f0/(1∓β)f_0/(1\mp\beta) 只由 β\beta 决定，与 dd 无关；dd 改变的只是曲线从上限跌到下限的陡峭程度。按 10% 与 90% 跌落点之差量这段过渡，实测 d=2d=2 m 时 0.2130.213 s、d=10d=10 m 时 1.0641.064 s、d=50d=50 m 时 5.3195.319 s、d=200d=200 m 时 21.27621.276 s，逐项之比与 dd 之比严格一致，比例系数 0.10640.1064 s/m 只与 β\beta 有关。站得越远，音调的滑落越慢越缓，但滑落的总幅度一分不少。

图 3-1 · 源掠过旁侧一点时接收频率对抵达时刻的曲线。实线是按发射时刻几何的严格解，虚线是按接收时刻几何的对照算法。可调源速与横向距离 dd 观察过渡陡度的变化，读数栏给出两种口径的最大差值及其音分数。

4 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 17. Wiley.
  2. Rossing, T. D., Moore, F. R., & Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3rd ed.), Chapter 3. Addison-Wesley.
  3. Anderson, J. D. (2003). Modern Compressible Flow (3rd ed.), Chapter 1. McGraw-Hill.