微平移法判方向

波形图与振动图

机械波的产生与传播给出了横波沿传播方向的一列快照，但那张图本身藏着一个容易和另一张图混淆的地方：波形图是某一时刻各质点位置的空间快照，振动图是某一质点位置随时间变化的历史，两者的横轴含义完全不同。本页把这组混淆讲清楚，并给出已知传播方向时从波形图直接判断质点运动方向的方法。

1 · 波形图与振动图的区别

定义 1.1（波形图与振动图） 波形图（waveform）是固定某一时刻 $t$ 、各质点位移 $y$ 对位置 $x$ 的图像，横轴是位置；振动图（vibration diagram，也称位移-时间图）是固定某一质点、位移 $y$ 对时间 $t$ 的图像，横轴是时间。两者的曲线都可能画成正弦形，但波形图上的水平间距是波长 $\lambda$ ，振动图上的水平间距是周期 $T$ 。

分辨两者的唯一办法是看清横轴的单位：波形图的横轴是长度（米），振动图的横轴是时间（秒）——单位不同，直接决定了同一条正弦曲线上量出的水平间距代表完全不同的物理量。把两张图叠在一起看、却只认曲线形状不认单位，是最常见的读图错误。

2 · 从波形图判断质点运动方向

已知波的传播方向时，有两种等价的读图方法可以判断波形图上任意一点接下来的运动方向。

微平移法把整条波形沿传播方向平移一个极小距离 $\delta$ ，比较同一位置 $x_0$ 平移前后的高度：变大说明这个质点下一时刻向上运动，变小说明向下运动。这个方法成立的原因是波形整体做刚性平移——沿传播方向稍微超前的那一点，正是 $x_0$ 马上要变成的样子。

上下坡法沿传播方向看波形（视线方向与传播方向一致），处于上坡的质点将向下运动，处于下坡的质点将向上运动。

警示 · 上下坡法只对横波成立。纵波（如声波）的质点沿传播方向本身来回运动，没有可以画成上坡下坡的横向位移-位置曲线，套用这条口诀判断不出任何方向。

注 · 微平移法与上下坡法不是两条独立的经验口诀。记传播方向为 $s=\pm1$ （ $+1$ 沿 $+x$ 、 $-1$ 沿 $-x$ ），波函数写成 $y(x,t)=A\sin(kx-s\,\omega t)$ ，对 $t$ 、 $x$ 分别求偏导即得

\frac{\partial y}{\partial t} = -s\,v\,\frac{\partial y}{\partial x}, \qquad v=\frac{\omega}{k}

微平移法比较的正是 $x_0$ 处曲线沿 $x$ 方向的变化率 $\partial y/\partial x$ ——上坡对应它的符号为正、下坡为负，乘上 $-sv$ 就等于质点速度 $\partial y/\partial t$ 。下方 lab 把两条口诀各自给出的方向摆在一起，对任意点击位置都是同一个符号，原因就是这一行代数，不是巧合。

图 2-1 · 波形沿传播方向连续平移，同步画出选中质点的振动图。可切换传播方向、单击波形上任意一点标记质点；开启「微平移预览」会暂停动画并叠一条偏移后的虚线波形，比较同一位置的新旧高度以判断该质点下一时刻的运动方向。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 16. Wiley.