旋转 + 伸缩

三角形式与乘法的旋转

直角坐标写法 $a + bi$ 让加减法一目了然，乘除法却看不出几何意义。换一组参数（到原点的距离，与从实轴正方向转过的角），乘法立刻变成两个简单动作的合成。本页给出这套写法、它对乘法与开方的解释，以及辐角在实现里的两处坑。

1 · 辐角与三角形式

定义 1.1（辐角与三角形式） 非零复数 $z$ 对应的向量与实轴正方向的夹角 $\theta$ 叫做 $z$ 的辐角，满足 $a = r\cos\theta$ 、 $b = r\sin\theta$ （ $r = |z|$ ）。于是 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ，这叫三角形式。辐角相差 $360°$ 的整数倍的角都是辐角，落在指定区间内的那一个叫辐角主值。

零复数的模为零，方向无从谈起，故它没有辐角。区间的选法是约定：课本取 $[0, 2\pi)$ ，复分析文献多取 $(-\pi, \pi]$ 。两套在负虚部一侧差一整圈： $z = -i$ 在前一套里是 $270°$ ，在后一套里是 $-90°$ 。

实现上这条约定要自己接：Math.atan2 返回的是 $(-\pi, \pi]$ ，负值加一圈才落到 $[0, 2\pi)$ 。折算时另有两处实测值得记：

Math.atan2(0, 0) 返回 0，而零复数的辐角本无定义。核心模块的 arg 因此先判零、返回 null，不让这个 0 混进后续的角度运算。
Math.atan2(0, -0) 是 $\pi$ 而 Math.atan2(-0, -0) 是 $-\pi$ 。负零把同一个方向劈成了两个返回值；换算到 $[0, 2\pi)$ 之后 $-\pi$ 也落回 $\pi$ ，这条区间约定顺手把分歧吃掉了。若当初选的是 $(-\pi, \pi]$ ， $-1 + 0i$ 与它的共轭会拿到两个差一整圈的辐角主值。

2 · 乘法的旋转与伸缩

定理 2.1 设 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ 、 $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ ，则 $z_1 z_2 = r_1 r_2\big[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\big]$ 即模相乘、辐角相加。除法对应模相除、辐角相减。

证明按展开式相乘，实部为 $r_1 r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2)$ ，虚部为 $r_1 r_2(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2)$ 。两个括号分别是余弦与正弦的和角公式，收拢即得。∎

这条定理把乘法读成了几何动作：乘 $z_2$ 就是把 $z_1$ 绕原点转 $\theta_2$ 、再伸长到 $r_2$ 倍。模为 $1$ 的因子只转不伸， $i$ 是其中最常用的一个：乘 $i$ 即逆时针转 $90°$ ，而 $i^2 = -1$ 在这个视角下不再是规定，是「转两次 $90°$ 等于取相反数」。反复取幂即得棣莫弗公式 $z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$ 。

单测验这条定理时不重算和角公式，而是拿一个与复数无关的参照：乘 $w$ 等价于矩阵 $\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}$ 作用在向量 $(a, b)$ 上，那个矩阵就是「转 $\arg w$ 、伸 $|w|$ 倍」的旋转伸缩矩阵。两条路径逐个取值比对，偏差在 1e-12 以内。

图 2-1 · 三角形式下的乘法与开方。乘法一栏可调两个复数的模与辐角，读数对照模之积与辐角之和；开方一栏可调开方次数，读数给出相邻夹角与逐个代回的残差。

3 · 开方与 n 次单位根

开方是取幂的逆运算：求 $w$ 使 $w^n = z$ 。在三角形式下这件事变得机械，只需模开 $n$ 次算术根、辐角除以 $n$ ，再逐个加 $360°/n$ ：

w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 360°k}{n} + i\sin\frac{\theta + 360°k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1

非零复数的 $n$ 次方根恰有 $n$ 个，模全相同，故均匀分布在同一个圆上，连起来是正 $n$ 边形。 $z = 1$ 那一组叫 $n$ 次单位根，它们之和为零（正多边形的重心在中心）。

与实数开方的对比在负数上最直接：Math.sqrt(-4) 是 NaN，而 $-4$ 在复数意义下有两个平方根 $\pm 2i$ 。实测取到的两个根是 1.225e-16 + 2i 与 -3.674e-16 - 2i——实部那条 1e-16 尾巴来自 $\cos 90°$ ，数学上应为零。所以「 $-4$ 的平方根不存在」这句话只在实数范围内成立，而 NaN 表达的就是这个范围限制，不是运算本身无解。

单测拿两件事验单位根，都不重算构造公式：逐个把根代回 $z^n$ （用重复相乘）看与 $1$ 的残差，以及量相邻两根的商的辐角是否恰为 $360°/n$ 。残差随 $n$ 增长， $n$ 与最大残差实测如下： $n = 4$ 时 7.348e-16， $n = 12$ 时 6.110e-15， $n = 100$ 时 9.438e-14， $n = 1000$ 时 1.008e-12。大致线性，因为 $n - 1$ 次乘法各贡献一份舍入。这批数字推翻了单测最初的容差：原先按 4e-16 乘 $n$ 给上限，看着与线性增长相称，但 $n = 3$ 那一档实测 1.460e-15 直接越过 1.2e-15 的上限——小 $n$ 处有一段与 $n$ 无关的固定开销。改成常数项加线性项之后才稳定通过。

4 · 单位根与傅里叶变换的旋转因子

$n$ 次单位根不是一个孤立的构造。欧拉公式把三角形式写成 $z = re^{i\theta}$ ，单位根就是 $e^{i \cdot 2\pi k / n}$ ，而离散傅里叶变换的每一项系数正是这些数与样本的乘积。把信号「缠绕」在转速为 $k$ 的圆上，靠的就是辐角均匀分布这一条。这条线索的完整叙述见旋转的向量：复指数与 DFT：逐个频率探针。

本页的开方与那边的变换共用同一个几何事实：把圆等分成 $n$ 份。差别只在读法：本页问「哪些数的 $n$ 次幂等于 $z$ 」，傅里叶那边问「信号里含哪些转速」。

5 · 参考文献

De Moivre's formula. Wikipedia. 棣莫弗公式：取幂时模取幂、辐角乘倍。https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula
Root of unity. Wikipedia. n 次单位根及其在圆上的均匀分布。https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
Argument (complex analysis). Wikipedia. 辐角与辐角主值的两套区间约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Argument_(complex_analysis)
Euler's formula. Wikipedia. 欧拉公式，三角形式的指数写法。https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
Math.atan2(). MDN. atan2 的返回区间与它在原点、负零上的取值。https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Math/atan2