二阶导数 · 拐点 · 渐近线

凹凸性、拐点与函数作图

导数的符号只回答升降。两段同样在上升的曲线，可以一段越升越陡、另一段越升越缓，差别不在 $f'$ 的正负，而在 $f'$ 自身的增减。把这一层信息也算出来，再补上定义域两端与间断点附近的走向，函数的图象就不必靠描点去猜。

1 · 二阶导数与弯曲的方向

对导函数再求一次导，得到二阶导数 $f''(x)$ 。它是 $f'$ 的变化率，也就是切线斜率变化的快慢。

定义 1.1（下凸与上凸） 设 $f$ 在区间 $I$ 上连续。若对 $I$ 内任意两点 $x_1 < x_2$ 恒有 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ 即弧不高于弦，则称 $f$ 的图象在 $I$ 上下凸（convex）；不等号反向时称上凸（concave）。

定义只用到函数值，不要求可导。二阶导数把它换成一个可算的判据。

定理 1.2 设 $f$ 在区间 $I$ 上二阶可导。若 $f''(x) > 0$ 对 $I$ 内每个 $x$ 成立，则图象在 $I$ 上下凸；若 $f''(x) < 0$ 恒成立，则上凸。

论证走的是切线： $f'' > 0$ 说明 $f'$ 递增，切线斜率沿曲线一路变大，曲线始终在每一条切线的上方；把弦的两个端点各作一条切线，弦就压在弧之上。 $y = x^2$ 的 $f'' = 2$ 恒正，图象是开口向上的抛物线； $y = \ln x$ 的 $f'' = -\frac{1}{x^2}$ 恒负，对数曲线一路向右上方走却越走越平。

注 · 中文里「凹」与「凸」有两套互相颠倒的用法。《高等数学》一系把 $f'' > 0$ 的一段叫作凹弧， $f'' < 0$ 的叫凸弧，说的是曲线相对于观察者「凹进去」；数学分析与凸分析一系则把 $f'' > 0$ 的函数叫凸函数，与 convex function 直接对应，于是同一段曲线在两套术语下分别是「凹」和「凸」。英文没有这个歧义： $f'' > 0$ 是 convex（或 concave up）， $f'' < 0$ 是 concave（concave down）。本页一律写「下凸 / 上凸」，读到别处的教材时按 $f''$ 的符号还原即可。

2 · 拐点

定义 2.1（拐点） 设 $f$ 在 $x_0$ 处连续。若在 $x_0$ 的某个邻域内，曲线在 $x_0$ 一侧下凸、另一侧上凸，则称点 $(x_0, f(x_0))$ 是曲线的拐点（inflection point）。

拐点是凹凸性的分界，判据在于 $f''$ 变号， $f''$ 取零本身还不够。二阶可导时 $f''(x_0) = 0$ 是必要条件： $f''$ 在拐点两侧异号且连续，中间必经过零。反过来不成立。

警示 · $y = x^4$ 的二阶导数 $12x^2$ 在 $x = 0$ 处为零，两侧却同为正。整条曲线一路下凸，原点不是拐点，只是曲线在那里暂时「平」了一下。把「 $f'' = 0$ 」当成拐点的判据， $x^4$ 这一族就会全部判错。

这与极值的判别是同一种结构： $f'$ 变号处出极值， $f''$ 变号处出拐点，各自的「导数为零」都只是候选条件。两者的位置一般互不相干—— $y = x^3 - 3x$ 的极值在 $x = \pm 1$ ，拐点在 $x = 0$ ； $y = x \mathrm{e}^{-x}$ 的极大值在 $x = 1$ ，拐点在 $x = 2$ 。

拐点还有一个不依赖二阶导数的说法：切线在该点穿过曲线。别处的切线只是碰一下就退回同侧，拐点处的切线从曲线的一侧跨到另一侧。 $y = x^3 - 3x$ 在原点的切线是 $y = -3x$ ，代入 $x = -0.5$ 与 $x = 0.5$ 分别得曲线在切线下方与上方，穿越发生在原点。

图 2-1 ·

f

、

f'

、

f''

三格同屏，共用横轴。橙色竖线落在

f'

的零点上，红色竖线落在

f''

的变号处；顶格的底色按

f''

的符号区分下凸与上凸。可切换函数族并拖动参数

a

，观察

x^4 + ax^2

的两个拐点如何在

a

变号时从原点分裂出来。

3 · 渐近线

有界的视窗画不出无穷远处的走向，渐近线（asymptote）补上这一段：曲线与某条直线的距离趋于零时，这条直线就是它的渐近线。三类的求法各不相同。

竖直渐近线只出现在定义域的挖去点上。 $x \to x_0$ 时 $|f(x)| \to +\infty$ ，则 $x = x_0$ 是竖直渐近线。 $y = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处、 $y = \tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处都是如此。
水平渐近线由 $x \to \pm\infty$ 时的极限给出。 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = c$ 时 $y = c$ 是右侧的水平渐近线，左右两侧可以不同：logistic 函数 $\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$ 向右趋于 $1$ 、向左趋于 $0$ ，两条水平线一上一下把曲线夹住。
斜渐近线要两次求极限。先由 $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ 定斜率，再由 $b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$ 定截距，两个极限都存在且 $k \ne 0$ 时 $y = kx + b$ 是斜渐近线。 $y = x + \frac{1}{x}$ 的 $k = 1$ 、 $b = 0$ ，斜渐近线是 $y = x$ ，同时它在 $x = 0$ 处还有一条竖直渐近线。

次序不能反：先算 $k$ 再算 $b$ 。跳过第一步直接算 $f(x) - x$ 只在斜率恰为 $1$ 时凑对，斜率是别的值时两个极限都发散。

「渐近线是碰不到的」这句流传很广的话并不成立。 $y = \frac{\sin x}{x}$ 的水平渐近线是 $y = 0$ ，而曲线在每个 $x = k\pi$ 处都与它相交，交点有无穷多个。渐近线约束的只是距离的极限行为，对曲线在有限范围内是否与它相交不作任何断言，这一点与切线的极限定义同源（见导数的几何意义与切线方程）。

4 · 作图的次序

把前面几项汇成一条流水线，次序是有讲究的：定义域定下讨论的范围，奇偶性与周期性把工作量对折，零点与极值给出骨架，凹凸与拐点决定骨架之间怎么连，渐近线管住无穷远与间断点附近。描点排在最后，作用是确认而非猜测。

定义域。分母不为零、偶次根号内非负、对数的真数为正，先把不能取的点挖掉。
奇偶性与周期性。 $f(-x) = f(x)$ 只画右半再对称过去； $f(x + T) = f(x)$ 只画一个周期。
零点与函数值的符号。解 $f(x) = 0$ ，定出曲线穿过横轴的位置。
求 $f'$ ，解 $f'(x) = 0$ ，定单调区间与极值。
求 $f''$ ，解 $f''(x) = 0$ 并检查两侧符号，定凹凸区间与拐点。
求各类渐近线，再补几个关键点连成曲线。

例 4.1 作 $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ 的图象。定义域为 $\mathbb{R}$ ； $f(-x) = -x\mathrm{e}^{x}$ 与 $f(x)$ 无对称关系，非奇非偶。零点只有 $x = 0$ ，且 $x > 0$ 时 $f > 0$ 、 $x < 0$ 时 $f < 0$ 。求导得 $f'(x) = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}$ ，驻点 $x = 1$ ， $f'$ 在其左为正右为负， $f(1) = \mathrm{e}^{-1} \approx 0.368$ 是极大值。再求 $f''(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{-x}$ ，零点 $x = 2$ 处 $f''$ 由负变正，拐点为 $(2, 2\mathrm{e}^{-2}) \approx (2, 0.271)$ ：曲线在 $(-\infty, 2)$ 上上凸、在 $(2, +\infty)$ 上下凸。 $x \to +\infty$ 时 $f \to 0$ ， $y = 0$ 是右侧的水平渐近线； $x \to -\infty$ 时 $f \to -\infty$ ，左侧无渐近线。至此形状已定：从左下方陡峭地升上来，在 $x = 1$ 处到达最高点 $0.368$ ，随后下降， $x = 2$ 之后转为下凸并贴着横轴趋近于零。

极大值点 $x = 1$ 与拐点 $x = 2$ 分居两处，这是本例值得留意的地方——曲线在 $x = 1$ 之后开始下降，但下降本身还在加速；直到 $x = 2$ 才转为减速，此后越走越平。只看 $f'$ 得不到这段区别。

5 · 数值上的二阶导数

core/shape.ts 的 secondDiff 用二阶中心差商算 $f''$ ：

f''(x) \approx \frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}

步长的取法与一阶差商不同。一阶中心差商在 $h = 10^{-6}$ 附近最准（见平均变化率与导数的定义的收敛表），二阶必须放大到 $10^{-4}$ ：分子里三个量级相同的数相加减，剩下的舍入残渣约为一个机器 $\varepsilon$ ，除以 $h^2$ 后被放大成 $\varepsilon / h^2$ ；截断误差仍是 $O(h^2)$ ，两者在 $\varepsilon^{1/4} \approx 1.2 \times 10^{-4}$ 处交汇。实测 $f = \sin$ 于 $x = 1$ ： $h = 10^{-4}$ 时误差 $3.0 \times 10^{-9}$ ， $h = 10^{-2}$ 时 $7.0 \times 10^{-6}$ ， $h = 10^{-6}$ 时 $-7.8 \times 10^{-5}$ ，两侧都变差。

再小就只剩噪声。 $h = 10^{-8}$ 时算出 $-1.110\,223\,024\,625\,156\,5$ ，这个数恰是 $-2^{-53} / h^2$ ；换成 $f = x^3$ 得 $2 \cdot 2^{-53} / h^2$ ，换成 $f = \mathrm{e}^x$ 分子干脆是精确的 $0$ ，二阶差商报出 $0$ 而真值是 $\mathrm{e} = 2.718$ 。三个函数给出三个「答案」，它们只反映浮点数最后一位的舍入量，与被求导的函数无关。

拐点的判别也踩过一次。d2Zeros 先取 $f''$ 的零点，再在每个零点左右各取一个探测点看符号。取 $f(x) = x^4 + ax^2$ 并把 $a$ 压到 $-10^{-8}$ ，两个真拐点相距只有 $8.2 \times 10^{-5}$ ，零点检测除了这两个还会在它们中间多报一个 $x = 0$ ——那是重根检测顺带捞上来的。变号判别把它挡住了： $x = 0$ 两侧的 $f''$ 同为 $-1.78 \times 10^{-8}$ ，同号即不是拐点。若判据写成「零点即拐点」，这一族在 $a$ 极小时会多出一个假拐点。

竖直渐近线附近还有一处更隐蔽的坑。rootsOf 的收敛阈值取网格上 $|g|$ 最大值的 $10^{-9}$ 倍，是个相对量；一旦区间里含着极点，这个基准就被撑到毫无意义的大小。把 $y = x + \frac{1}{x}$ 的 $f'' = \frac{2}{x^3}$ 直接交给 $[-4, 4]$ 上的 rootsOf，阈值被撑到 $0.031\,250\,000\,000\,01$ ，而 $|f''(\pm 4)| = 0.031\,25$ 恰好差一点没越过它，两个视窗端点被报成零点；同一个函数换到 $[-3, 3]$ 则一个零点也不报。现在的做法是先按挖去点把区间断开，逐段调用，极点不再进入任何一段的采样。

6 · 参考文献

Convex function. Wikipedia. 凸性的多种等价定义，含二阶导数判据与中点形式。https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
Inflection point. Wikipedia. 拐点的定义、必要条件与 $x^4$ 一类反例。https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point
Asymptote. Wikipedia. 三类渐近线的定义与斜渐近线的两次极限求法。https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote
Finite difference coefficient. Wikipedia. 二阶中心差商的系数与误差量级。https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_coefficient
Numerical differentiation. Wikipedia. 步长在截断误差与舍入误差之间的取舍。https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation