物理 / 电磁学 · 从电场到交流电 / 电容与 RC 暂态 待审核 4 / 15
C=Q/U · 断开与接通

电容与 RC 暂态

电势能与电势差给出平行板之间的匀强电场与电势差 U=EdU=Ed。本页换一个提问方式：给定一对导体，把电荷搬上去需要多高的电压？这个比值就是电容，它只由导体的几何与其间介质决定，与实际存了多少电荷无关。随后处理两件容易混淆的事：改变几何时哪些量守恒，以及充放电过程有多快。

1 · 定义与平行板的几何依赖

一对导体分别带上等量异号电荷 ±Q\pm Q 时，两者之间出现电势差 UU，比值

C=QUC = \frac{Q}{U}

称为这对导体的电容（capacitance），单位法拉（F）。定义式里 QQ 与 UU 都会变，但对给定的一对导体二者严格成正比，比值是个常数——这一点本身是实验事实，也是「电容」这个量有意义的前提。

平行板电容器把这个常数与几何量接上：忽略边缘效应时

C=ε0εrSdC = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}

其中 SS 是极板正对面积、dd 是间距、εr\varepsilon_r 是极板间介质的相对介电常数，ε0=8.854×10−12\varepsilon_0=8.854\times10^{-12} F/m。取 S=100S=100 cm²、d=1d=1 mm、真空介质，core/capacitor.ts 算出 C=88.54C=88.54 pF。

法拉是一个大得离谱的单位。要用 d=1d=1 mm 的平行板做出 11 F，正对面积需要 1.13×1081.13\times10^8 m²，即约 113113 km²、边长十公里的方形板。实际电路里的 μF 级电容器靠的不是面积而是把 dd 压到微米量级并卷绕成筒，电解电容更进一步用氧化膜做介质层。

2 · 断开与接通给出不同的答案

「把极板拉开一倍，场强怎么变」这个问题没有唯一答案，取决于电源还接不接着。基准态取 d0=1d_0=1 mm、U0=12U_0=12 V 充电完毕，此时 C=88.54C=88.54 pF、Q=1.0625Q=1.0625 nC、E=1.2000×104E=1.2000\times10^4 V/m、W=6.3750W=6.3750 nJ。把间距拉到 22 mm：

量 电源保持接通 电源已断开
电容 CC 44.27 pF（减半） 44.27 pF（减半）
电荷 QQ 0.53125 nC（减半） 1.0625 nC（不变）
电压 UU 12 V（不变） 24 V（加倍）
场强 EE 6.0000×1036.0000\times10^3 V/m（减半） 1.2000×1041.2000\times10^4 V/m（不变）
储能 WW 3.1875 nJ（减半） 12.750 nJ（加倍）

CC 只由几何决定，两栏相同。其余四个量分道，根源是两个不同的守恒量：接通时电源把 UU 钉住，断开时电荷无处可去、QQ 被钉住。

断开那一栏里 EE 不变最值得留意。它不是巧合，而是因为场强可以绕过 dd 直接由电荷面密度写出：

E=Ud=QCd=Qε0εrSE = \frac{U}{d} = \frac{Q}{Cd} = \frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_r S}

最后一式里 dd 已经约掉。电荷量固定时，拉开极板既不增也不减电场，只是让同一个场强延伸更长的距离，于是电势差按 U=EdU=Ed 成正比增长。

图 2-1 · 平行板在两种边界条件下的响应，场线每 12001200 V/m 画一条。可切换边界条件并调间距，观察断开时场线条数不变而变长、接通时条数随间距减少，读数栏给出五个量与基准态之比。

3 · 储能与拉开极板所需的功

电容器储存的能量有三个等价写法

W=12CU2=12QU=Q22CW = \tfrac12CU^2 = \tfrac12QU = \frac{Q^2}{2C}

选哪一个取决于哪个量守恒。断开电源时 QQ 恒定，用第三式最省事：CC 减半则 WW 加倍，与上表相符。

加倍多出来的 6.37506.3750 nJ 从哪来，是本节的实质问题。答案是拉开极板的外力做的功：两板带异号电荷、彼此相吸，拉开它们要克服这个吸引力。吸引力的大小

F=Q22ε0εrSF = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0\varepsilon_r S}

分母里没有 dd，所以电荷量固定时吸引力是个常数，外力做的功就是 F⋅ΔdF\cdot\Delta d 一乘：6.3750×10−66.3750\times10^{-6} N 乘 11 mm 得 6.37506.3750 nJ，与储能的增量在双精度下逐位相同。

写这个式子时踩了一次坑：先写成 F=QE=Q2/(ε0S)F=QE=Q^2/(\varepsilon_0 S)，大了整一倍，能量账随即差出一个因子 2 而对不上。错在 EE 取错了对象——一块极板处在的是另一块极板单独产生的场 Q/(2ε0S)Q/(2\varepsilon_0 S)，而 Q/(ε0S)Q/(\varepsilon_0 S) 是两块板合成的场，不能用来算其中一块板受的力。能量账在这一步起了勘误的作用：若不核对 F⋅ΔdF\cdot\Delta d 与 ΔW\Delta W 是否相等，这个因子 2 完全可以一直混下去。

电源保持接通时账目分给三方。储能减少 3.18753.1875 nJ，电源收回 0.531250.53125 nC 电荷、带走 UΔQ=6.3750U\Delta Q=6.3750 nJ，两者相差的 3.18753.1875 nJ 仍由外力提供。同一个动作，接通时外力只需做断开时一半的功，因为过程中电荷在减少、吸引力随之变小。

4 · RC 暂态里唯一的时间尺度

电容器经电阻充电时，电荷按指数趋近满值

q(t)=Q∞(1−e−t/τ),τ=RCq(t) = Q_\infty\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC

τ\tau 是唯一的时间尺度。把横轴换成 t/τt/\tau，曲线的形状与 RR、CC、UU 的取值全无关系：整数个 τ\tau 处充到满值的比例依次是 63.212%63.212\%、86.466%86.466\%、95.021%95.021\%、98.168%98.168\%、99.326%99.326\%，这五个数只由 1−e−n1-e^{-n} 给出。工程上把「充满」定为 5τ5\tau，误差不到 0.7%0.7\%；要到 99%99\% 精确需要 4.6052τ4.6052\tau。

充电电流 i(t)=(U/R)e−t/τi(t)=(U/R)e^{-t/\tau} 与电荷曲线互补：归一化后二者之和恒为 1。电流在 t=0t=0 最大，因为此刻电容两端还没有电压、整个电源电压都落在电阻上；随着电容充起来，落在电阻上的电压变小，电流随之衰减。这也解释了为什么严格的「充满」需要无穷长时间——趋近的过程中驱动它的电压差本身在趋于零。

图 4-1 · 充电过程的电荷与电流，横轴以 τ\tau 为单位。可调 RR、CC、UU 观察曲线形状不变而时间刻度改变，竖线标出整数个 τ\tau 的位置。

5 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapters 25–27. Wiley.
  2. Purcell, E. M., & Morin, D. J. (2013). Electricity and Magnetism (3rd ed.), Chapter 3. Cambridge University Press.
  3. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2007). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.), Chapter 24. W. H. Freeman.