电场力做的功

电势能与电势差

电场强度与电场线处理的是电场本身的定义与叠加；本页转向电荷在电场中运动时电场力做的功如何记账，这笔账最终归结为电势能与电势差两个量。

1 · 电场力做的功与电势能

电场力对电荷做功时，功的正负号记在电势能（electric potential energy，记 $E_p$ ）的变化里： $W=-\Delta E_p$ ，做正功电势能减少，做负功电势能增加。这条关系与重力做的功和重力势能的关系是同一套记账方法，只是把「重力」换成「电场力」，两种势能都是场对物体做的功反过来记的一笔账，不是各自独立的新规则。

2 · 电势差与匀强电场中的功

电场力把单位正电荷从一点移到另一点所做的功，定义为这两点间的电势差（记 $U$ ）： $U=W/q$ 。在匀强电场（场强大小、方向处处相同）中，沿场方向移动位移 $d$ 时电场力做的功

W = qEd

$q$ 是被移动电荷的电荷量， $E$ 是场强大小， $d$ 是沿场方向的位移；逆着场方向移动则 $W$ 取负值。功全部转化为动能时，由 $qU=\Delta E_k$ 反解出末速度，是分析电荷在电场中加速这类问题最直接的路径。

下方以一个类电子粒子在平行板间的匀强电场中由静止加速为例：粒子由阴极附近释放，电场力沿场方向把它推向阳极，功-能关系算出的末速度与直接套运动学公式算出的末速度应该完全相等，因为两条路径背后是同一个 $a=qE/m$ ，只是从功和从力两个角度各写一遍。这类电荷在电场中加速的模型是老式显像管（cathode-ray tube，CRT）电子枪的真实历史应用，通过在阴极与阳极之间加一个电压来控制电子获得的动能；本页不引用任何具体型号的历史工作电压，下面的数值全部来自滑块本身。

图 2-1 · 平行板间匀强电场加速一个类电子粒子。可调场强

E

、板间距

d

、电荷量与质量，数值栏对拍运动学与功-能关系算出的末速度。

警示 · 上面的功-能关系是非相对论的经典力学，只在末速度远小于光速时成立。按本页滑块的默认值（ $E=2\times10^4$ V/m、 $d=4$ cm、电荷量与质量都取电子的原值）算出的末速度约 $1.68\times10^7$ m/s，约为光速的 5.6%，修正量级尚可忽略；把滑块推到上限（ $E=5\times10^4$ V/m、 $d=10$ cm、电荷量取 5 倍元电荷、质量取 0.2 倍电子质量）算出的末速度达到约 $2.10\times10^8$ m/s，已经是光速的 70%——这时非相对论近似不再成立，这条边界不是猜测，是把滑块两端的数值代进公式实测出来的。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 24. Wiley.
Cathode-ray tube. Wikipedia. 电子枪利用阴极与阳极间的电压加速电子束的历史装置，本页「粒子在匀强电场中加速」模型的实际应用背景。https://en.wikipedia.org/wiki/Cathode-ray_tube