串联与并联电路

把若干电阻接入含有电源的回路，接法只有两种基本方式：首尾相接成一条唯一路径，或接在同一对节点之间形成多条并列路径。前者是串联（series connection），后者是并联（parallel connection）——这一页的电源当理想电源处理，电压恒为 $U$，不随电流变化；两个电阻记作 $R_1$、$R_2$，电源的内阻留给下一页处理。

1 · 串联电路的电流与电压

$R_1$、$R_2$ 首尾相接，其余部分用导线连成一个回路，回路上只有一条路径，电流没有分支可走，通过 $R_1$、$R_2$ 的电流处处相等，记为 $I$。沿回路走一圈，电位的升降相加为零，这是基尔霍夫电压定律（Kirchhoff's voltage law）在单回路情形下的表述：电源电压等于各电阻上的电压之和，$U=U_1+U_2$。代入 $U_1=IR_1$、$U_2=IR_2$ 得 $U=I(R_1+R_2)$，串联电路因此可以用一个等效电阻（equivalent resistance）$R=R_1+R_2$ 整体替换：给定同样的 $U$，流过的电流同样是 $I=U/R$。推广到 $n$ 个电阻串联，等效电阻是各电阻之和；多接一个电阻，等效电阻只增不减。

2 · 并联电路的电压与电流

$R_1$、$R_2$ 各自接在同一对节点之间，两端电压被节点电位钳定成相等，记为 $U$。汇入一个节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，这是基尔霍夫电流定律（Kirchhoff's current law）：总电流是两条支路电流之和，$I=I_1+I_2$。支路电流各由自身电阻决定，$I_1=U/R_1$、$I_2=U/R_2$，代入得 $I=U\left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\right)$，故并联电路的等效电阻满足 $\dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}$，即 $R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。这个等效电阻小于 $R_1$、$R_2$ 中较小的一个——多接一条支路等于多给电流一条出路，总电阻只会变小。

3 · 两种接法的对照

上方模型把同一组电阻 $R_1$、$R_2$ 接成串联或并联，切换连接方式后，数值栏用具体数字验证前两节的关系：串联时两电阻电压之和与电源电压相等，并联时两支路电流之和与总电流相等。

串联时电流相同，但两个电阻消耗的功率 $P=I^2R$ 不同，阻值较大的元件功率更大。取上方的默认参数 $R_1=4$ Ω、$R_2=8$ Ω、$U=6$ V：电流 $I=0.5$ A 沿回路处处相等，$R_2$ 消耗的功率 $I^2R_2=2$ W，是 $R_1$ 消耗的 $I^2R_1=1$ W 的两倍。两个电阻不同的灯泡串联时哪一个更亮是常见的教学问题，直觉容易答成「离电源更近的那个更亮」，但功率只取决于灯泡自身电阻，与它在回路里排在前面还是后面无关。

4 · 参考文献

1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 27. Wiley.
2. Series and parallel circuits. Wikipedia. 串联与并联等效电阻的一般证明，及其向多元件、混联电路的推广。https://en.wikipedia.org/wiki/Series_and_parallel_circuits