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平方反比 · 叠加原理

库仑定律

电场强度与电场线把电场定义为 E=F/qE=F/q，用试探电荷受到的力来标定空间各点的场。那个 FF 从哪来，是本页要补上的一环：静止点电荷之间的作用力遵从库仑定律，它是静电学全部推论的出发点，也是电场这个概念得以立起来的实验基础。

1 · 力的大小与方向

库仑定律（Coulomb's law）说：真空中两个静止点电荷之间的作用力沿它们的连线方向，大小

F=k∣q1q2∣r2,k=8.99×109 N⋅m2/C2F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}, \qquad k = 8.99\times10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2

同号相斥、异号相吸，两个电荷受到的力大小相等方向相反。「点电荷」与力学里的质点是同一类理想化：电荷的线度远小于它们之间的距离时才适用。

常量 kk 的数值提醒库仑（C）是一个极大的单位。两个 11 C 的电荷相距 11 m，相互作用力是 8.99×1098.99\times10^9 N，相当于约九十万吨物体所受的重力。日常摩擦起电攒下的电荷量在 nC 量级，两个 11 nC 电荷相距 11 cm 时的作用力只有 8.99×10−58.99\times10^{-5} N。

形式上库仑定律与万有引力定律几乎一样：都沿连线、都与两个「量」的乘积成正比、都按平方反比衰减。两处不同是本质的。其一，质量只有一种，引力只能是吸引；电荷有正负两种，库仑力可斥可引，因而宏观物体总体上呈电中性时，剩下的引力才能主宰天体运动。其二是强度的悬殊：氢原子中电子与质子相距一个玻尔半径 5.29×10−115.29\times10^{-11} m，core/coulomb.ts 算出库仑力 8.2410×10−88.2410\times10^{-8} N、万有引力 3.6314×10−473.6314\times10^{-47} N，比值 2.2694×10392.2694\times10^{39}。这个比值与距离无关——两个力都按 1/r21/r^2 衰减，rr 在相除时约掉了，所以「电力比引力强多少倍」才有唯一的答案。

2 · 叠加原理

两个以上的电荷同时存在时，任一电荷受到的力等于其余各电荷单独存在时对它施力的矢量和。这是一条独立的实验事实，并不能从库仑定律推出来：库仑定律只讲一对电荷，「第三个电荷在场是否会改变前两个之间的作用」得另行回答。实验给出的答案是不会。

对称的构型可以用来核对叠加的算法。三个等量正电荷放在边长 1010 cm 的等边三角形顶点上，每个 55 nC，则任一顶点受到的两条分力大小都是 2.24750×10−52.24750\times10^{-5} N、夹角 60°60°，合力应为单个分力的 3\sqrt{3} 倍。netForce 给出 3.89278×10−53.89278\times10^{-5} N，与 2.24750×10−5×32.24750\times10^{-5}\times\sqrt{3} 逐位相同，方向 90.0000°90.0000°，即沿三角形的中垂线。

方向那一位不必靠计算。把整个系统对中垂线做镜像，两个源电荷互换位置而系统的构型不变，合力也就必须落在镜面上；任何偏离都会在镜像后指向别处，与系统不变相矛盾。

图 2-1 · 两个源电荷 A、B 对电荷 C 的分力与合力。可调两个源电荷的电荷量（含符号）与 C 的位置，虚线平行四边形即矢量求和的那一步，读数栏给出三个力的大小与合力方向。

3 · 指数为什么正好是 2

「与距离的平方成反比」里的 2 是实验结论，不是定义。要判定它，直接量 FF 随 rr 的下降快慢是最笨的办法。把指数写成 2+δ2+\delta，两条曲线各自归一到 r=2r=2 cm 处再比形状（不归一的话 δ\delta 一动整条曲线的绝对高度就跳好几成，那是 r−(2+δ)r^{-(2+\delta)} 里比例常量的量纲随 δ\delta 改变造成的标度效应，与形状无关）：δ\delta 取到 0.20.2 这种荒谬的大小，两条归一化曲线在 22–1212 cm 内的最大差也只有满幅的 3.50%3.50\%，出现在 r=3.22r=3.22 cm 处。

原本以为这么大的指数偏差会让两条曲线一眼分开，量出来才发现不到四个百分点。判据得换成乘积 F⋅r2F\cdot r^2 是否为常数：δ=0\delta=0 时它是一条严格的水平线，δ=0.05\delta=0.05 就让它起伏满幅的 9.12%9.12\%，δ=0.2\delta=0.2 起伏 38.69%38.69\%。同一个 δ=0.2\delta=0.2，后一张图的敏感度是前一张的 1111 倍。

即便如此，直接测力的精度也有限。真正把 δ\delta 的上界压下去的是一条等价命题：平方反比成立，当且仅当封闭导体空腔内部的电场处处为零。这个等价性来自高斯定律，而检验「腔内有没有电场」可以做到极高的灵敏度——不需要测出微小的力，只需确认一个读数是不是零。历史上的几次实验依次是：Cavendish 于 1773 年用同心球壳给出 ∣δ∣<0.02|\delta|<0.02；Maxwell 重做后收紧到 ∣δ∣<5×10−5|\delta|<5\times10^{-5}[1]；Plimpton 与 Lawton 于 1936 年用交流激励与检流计给出 ∣δ∣<2×10−9|\delta|<2\times10^{-9}[2]；Williams、Faller 与 Hill 于 1971 年给出 ∣δ∣=(2.7±3.1)×10−16|\delta|=(2.7\pm3.1)\times10^{-16}[3]。

从 10−210^{-2} 到 10−1610^{-16} 的十四个数量级，靠的不是仪器灵敏度提高了十四个数量级，而是把「测一个小量」换成了「确认一个零」。

图 3-1 · 上图为归一化后的库仑力曲线（虚线是严格平方反比），下图为乘积 F⋅r2F\cdot r^2，同样归一。可调指数偏差 δ\delta 对照两图的敏感度差异，读数栏给出两者各自的满幅起伏。

4 · 参考文献

  1. Maxwell, J. C. (Ed.). (1879). The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish. Cambridge University Press.
  2. Plimpton, S. J., & Lawton, W. E. (1936). A very accurate test of Coulomb's law of force between charges. Physical Review, 50(11), 1066–1071.
  3. Williams, E. R., Faller, J. E., & Hill, H. A. (1971). New experimental test of Coulomb's law: A laboratory upper limit on the photon rest mass. Physical Review Letters, 26(12), 721–724.
  4. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 21. Wiley.