ε = BLv

法拉第电磁感应定律与导体棒发电

电磁感应现象与楞次定律只回答了方向问题。法拉第电磁感应定律把大小也定下来——感应电动势正比于磁通量的变化率。导体棒沿导轨匀速滑动是这条定律最简单的定量情形，由此还能推出电路里的电流、安培力与功率，核对一次能量账。

1 · 法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律（Faraday's law of induction）给出感应电动势的大小：

\varepsilon = \left|\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right|

磁通量变化得越快，感应电动势越大。对上一页那根沿导轨滑动的导体棒，取一段时间 $\Delta t$ ，棒移动 $v\Delta t$ ，回路面积变化 $L \cdot v\Delta t$ （ $L$ 是导轨间距），磁通量变化 $\Delta \Phi = BLv\Delta t$ ，代入上式：

\varepsilon = BLv

这是法拉第电磁感应定律在「导体棒匀速滑动、磁场垂直导轨平面」这一特殊情形下的化简结果，边界条件写在假设里：棒速度恒定，磁场处处相同，导轨间距不变。

2 · 闭合电路中的电流与安培力

把这根棒接入一个电路，外电路电阻为 $R$ ，棒自身还带一点电阻 $r$ （导体棒并非理想导线），回路总电阻是 $R + r$ 。由欧姆定律，感应电流

I = \frac{\varepsilon}{R+r} = \frac{BLv}{R+r}

棒受到的安培力 $F = BIL$ ，方向由楞次定律判定，恒与棒的运动方向相反。棒要维持匀速滑动，外力必须恰好抵消这个安培力，合力为零才谈得上匀速。

图 2-1 · 导体棒发电电路。可调速度 v、磁场 B、导轨间距 L 与电路两段电阻 R、r，读出感应电动势、电流、安培力与维持匀速所需的外力。

3 · 外力做功与电路耗散的对拍

棒匀速滑动时动能不变，外力做的功没有别的去处，只能全部转化为电能，再经电阻消耗为热量。外力的功率 $P_{\text{外}} = Fv$ ，电路消耗的电功率 $P_{\text{电}} = I^2(R+r)$ ；图 2-1 的数值栏把两者分别算出来，逐位对齐。

这个吻合不是两次独立测量凑巧一致，而是同一个量换了一种写法： $F = BIL$ 里的 $B$ 、 $I$ 、 $L$ 正好是电动势 $\varepsilon = BLv$ 里的同一组 $B$ 、 $L$ 。把两个式子代进同一个 $v$ ： $P_{\text{外}} = Fv = BILv = I(BLv) = I\varepsilon = I^2(R+r)$ ，两条路径在代数上本来就是一件事，不是两条各自独立成立的物理定律恰好对上了。

警示 · 这条对拍只在棒匀速滑动时成立——匀速意味着合力为零、动能不变，外力的功才能全部转给电路。若棒还在加速或减速，外力还要分一部分去改变棒的动能， $P_{\text{外}}$ 与 $P_{\text{电}}$ 不再逐位相等，需要按动能定理另算一份账。

4 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 30. Wiley.
Griffiths, D. J. (2017). Introduction to Electrodynamics (4th ed.), Chapter 7. Cambridge University Press.