发电机线框与正弦电动势

正弦交流电的产生与描述

正弦交流电（sinusoidal alternating current）不是凭空规定的一条波形，它是「转动」这个几何动作最直接的电磁后果：线框在磁场里转一圈，电动势恰好走完一条正弦曲线。本页先从线框转动推出这条曲线，再厘清瞬时值、峰值与有效值三个容易混用的量。

1 · 线框转动产生的正弦电动势

矩形线框放在磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的轴以恒定角速度 $\omega$ 转动，这是交流发电机（AC generator）的基本结构。线框平面与磁场方向垂直的位置称为中性面：此刻穿过线框的磁通量最大，但磁通量的变化率为零，感应电动势恰好是零。设 $t=0$ 时线框正处于中性面，转过角度 $\theta=\omega t$ 后磁通量 $\Phi=NBA\cos(\omega t)$ （ $N$ 为线框匝数、 $A$ 为线框面积），按法拉第电磁感应定律对 $\Phi$ 求 $t$ 的变化率，得到

e(t) = NBA\omega\sin(\omega t) = E_m\sin(\omega t)

其中 $E_m=NBA\omega$ 是电动势的峰值，只由线框的几何参数与转速决定，与时刻 $t$ 无关。线框转过 $90°$ 到达与磁场方向平行的位置时，磁通量变化率最大，电动势也达到峰值；此后每转过半周电动势换一次符号，对应线框两条边相对磁场运动方向的一次反转——这正是交流电流方向周期性交替的来源。

2 · 有效值的定义

$e(t)=E_m\sin(\omega t)$ 里， $e(t)$ 是任意时刻的瞬时值， $E_m$ 是一个周期内瞬时值能达到的峰值（也称最大值）。用电器铭牌、插座标注的电压既不是瞬时值也不是峰值，而是有效值（root mean square，RMS）——数值上等于峰值除以 $\sqrt2$ 。

定义 2.1（有效值） 交流电的有效值是与它「产生相同热效应」的那个直流值：让正弦交流电流通过电阻 $R$ ，在一个周期内放出的热量，与某个恒定直流电流通过同一电阻在同样时间内放出的热量相等，这个直流电流的数值就是该交流电流的有效值 $I_{rms}$ 。对 $i(t)=I_m\sin(\omega t)$ ，一个周期内 $i^2(t)$ 的平均值是 $I_m^2/2$ ，取平方根得 $I_{rms}=I_m/\sqrt2$ ；同理电压的有效值 $U_{rms}=U_m/\sqrt2$ 。

有效值不是瞬时值的算术平均：正弦量一个周期内的算术平均恒为零，正负半周对称抵消。把 $\sin\theta$ 在一个周期内均匀采样 1000 个点直接求平均，得到约 $-6.4\times10^{-18}$ ，量级正好是浮点精度的下限，与「一个周期内的积分严格为零」这条解析结果相符。有效值按热效应等效定义，回避了这种符号抵消： $i^2(t)$ 全程非负，平均值不会归零。家用电压「 $220$ V」指的就是有效值，对应的峰值 $U_m=220\sqrt2\approx311$ V。

图 2-1 · 线框转动与正弦电动势。可调相位角

\theta=\omega t

与峰值

E_m

，示意图中的线框绕轴旋转，同步显示瞬时值、峰值与有效值三者的关系。

注 · 图中横轴直接取相位角 $\omega t$ （弧度），不单独设定 $\omega$ 的数值；换成中国电网的实际频率 $50$ Hz（ $\omega=100\pi$ rad/s）时，只需把角度值除以 $100\pi$ 换算成秒，波形本身不变。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 31. Wiley.
Root mean square. Wikipedia. 均方根（有效值）的定义、计算方法及其在交流电路中的应用。https://en.wikipedia.org/wiki/Root_mean_square