ε = I(R + r)

闭合电路与电源内阻

真实电源不是理想电压源：接入外电路后，电源内部本身也要消耗一部分能量，这部分消耗等效于电源内部串联了一个电阻。这一页把上一页的理想电源换成含内阻的真实电源，考察外电阻的选取如何影响电流、路端电压与输出功率。

1 · 电动势与内阻

电源不接外电路时两极之间的电压称为电动势（electromotive force，记 $\varepsilon$ ），它衡量电源把单位电荷从负极搬到正极所做的非静电功；电源接入外电路后，电流通过电源内部也会遇到阻碍，等效为一个内阻（internal resistance，记 $r$ ）。外电阻记 $R$ ，闭合电路方程

\varepsilon = I(R+r)

给出电流 $I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}$ 。电源两端对外电路呈现的电压——路端电压（terminal voltage，记 $U$ ）——等于电动势减去内阻上的压降， $U=\varepsilon-Ir$ ，代数上也等于外电阻上的压降 $U=IR$ 。

2 · 外电阻变化时的路端电压与电流

外电阻 $R$ 越小，电流 $I=\varepsilon/(R+r)$ 越大，但路端电压不一定跟着变大： $R\to0$ （短路，short circuit）时电流达到最大值 $I=\varepsilon/r$ ，路端电压 $U\to0$ ，电流全部消耗在内阻上，对外不做功； $R\to\infty$ （开路，open circuit）时电流趋于零，路端电压趋于电动势本身， $U\to\varepsilon$ 。

「路端电压等于电源电压」这个说法只在内阻为零的理想电源上严格成立，真实电源的内阻不可忽略，大电流下这个近似会明显失效。取一节普通干电池的典型参数 $\varepsilon=1.5$ V、 $r=0.5$ Ω：外接 $R=0.5$ Ω（与内阻同阶）时 $I=1.5$ A，路端电压 $U=IR=0.75$ V，只有电动势的一半；外接 $R=50$ Ω（轻载）时 $I\approx0.030$ A，路端电压 $U\approx1.485$ V，与电动势相差不到 1%。同一节电池，外电阻从 $0.5$ Ω 换到 $50$ Ω，路端电压的近似误差从 50% 收窄到 1%，「电源电压恒定」这句教材里常见的简化，只在外电阻远大于内阻时才站得住。

3 · 输出功率的极值

外电阻上的输出功率 $P=I^2R=\dfrac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}$ 。

定理 3.1 输出功率 $P(R)$ 在 $R=r$ 处取得最大值 $P_{\max}=\dfrac{\varepsilon^2}{4r}$ 。

证明把 $P$ 的分母改写：

\frac{(R+r)^2}{R} = R + 2r + \frac{r^2}{R}

右边 $R$ 与 $r^2/R$ 都是正数，由均值不等式 $R+\dfrac{r^2}{R}\ge2\sqrt{R\cdot\dfrac{r^2}{R}}=2r$ ，等号成立当且仅当 $R=r^2/R$ ，即 $R=r$ （ $R>0$ ）。于是 $(R+r)^2/R\ge4r$ ，从而

P=\frac{\varepsilon^2}{(R+r)^2/R}\le\frac{\varepsilon^2}{4r}

等号在 $R=r$ 处取得。∎

这个结论不需要求导：外电阻等于内阻时输出功率最大，是阻抗匹配（impedance matching）在直流电阻电路下的特例，交流电路里同样的结论对复阻抗成立，只是均值不等式换成了模长关系。

图 3-1 · 路端电压 U 与输出功率 P 随外电阻 R 变化。可调电动势 ε、内阻 r 与外电阻 R，虚线标出 R 等于 r 处，P 的峰值恰好落在此处。

输出功率最大不等于效率最高： $R=r$ 时电源内部消耗的功率 $I^2r$ 恰好等于外电阻消耗的功率，效率只有 50%；外电阻远大于内阻时效率趋于 100%，但此时输出功率反而趋于零。选大功率还是选高效率取决于具体的工程目标，两者不是同一个最优点。

4 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 27. Wiley.
Maximum power transfer theorem. Wikipedia. 外电阻等于内阻时输出功率最大这一结论的一般形式，覆盖直流电阻与交流阻抗两种情形。https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_power_transfer_theorem