电功、电功率与焦耳定律

串联与并联电路与闭合电路与电源内阻算的都是电流与电压的分配。本页换到能量：电路每秒消耗多少能量，这些能量又变成了什么。区分这两个问题是本页的全部内容——它们在电阻上恰好合并成同一个答案，在电动机上则完全分开。

1 · 两条互不等价的式子

电场力对通过元件的电荷做功，功等于电荷量乘电势差。时间 $t$ 内通过的电荷是 $It$，于是电功（electric work）

这条式子只用到「电势差」与「电荷通过」，对任何二端元件都成立，不问元件内部发生了什么。

焦耳定律（Joule's law）是另一件事：导体中定向移动的自由电荷与晶格碰撞，动能转成晶格的无规则热运动，单位时间转成的热量

它算的是「转成热的那一份」，$R$ 是这个元件的电阻。

两条式子的适用范围不同，能否互换取决于元件。电阻器把接收的全部电能都变成热，两者相等，于是 $P=UI=I^2R=U^2/R$ 三式通用，这也是它们常被当成同一条公式的原因。

2 · 非纯电阻元件

电动机、电解槽、正在充电的蓄电池都不是纯电阻元件：它们把一部分电能转成机械能或化学能，只有剩下的一部分转成热。此时 $UI>I^2R$，两式分家。

电动机的模型是绕组电阻 $r$ 串上一个反电动势 $E$：转子转动时切割磁感线，产生与电源电压反向的电动势，转速越高 $E$ 越大。回路方程 $U=E+Ir$ 定出电流，三份功率依次是

取 $U=12$ V、$r=1$ Ω、$E=10$ V，core/circuits.ts 给出 $I=2$ A、总功率 $24$ W、发热 $4$ W、机械输出 $20$ W，效率 $83.3\%$。

此处用 $U^2/R$ 会得到 $144/1=144$ W，是真实总功率的 6 倍。这个数并非「近似偏大」——把 $P=U^2/R$ 用在非纯电阻元件上没有任何物理意义，因为推出它的那一步（$P=UI$ 与 $I=U/R$ 同时成立）要求元件两端的电压全部落在电阻上，而电动机的电压有一部分落在反电动势上。

3 · 堵转与这个数值的重合

$144$ W 这个数并不是凭空的错值，它是同一台电机另一个工况下的正确答案：转子被卡住不转。此时 $E=0$，回路方程退化为 $U=Ir$，电流升到堵转值 $U/r=12$ A，全部电功率 $UI=U^2/r=144$ W 转成热，机械输出为零。

于是「把 $U^2/R$ 用在电动机上」这件事有了一个精确的说法：它算的是这台电机堵转时的功率。写下 $144$ W 时的隐含假设，正是转子不转。

堵转的后果可以从数字读出。正常工况下发热 $4$ W，堵转时 $144$ W，是 36 倍。绕组的散热能力按正常工况设计，突然接受 36 倍的热功率，温度会在几秒内越过绝缘材料的耐温上限——这就是电风扇被卡住后闻到焦味的机制，也是电机必须配过流保护的理由。

4 · 接法决定的发热分配

纯电阻元件之间的发热分配由接法决定。$P=I^2R$ 与 $P=U^2/R$ 都对，但用哪一个取决于哪个量是各支路共有的。

串联时电流处处相同，$P=I^2R$ 里只有 $R$ 不同，发热与电阻成正比：$R_1=10$ Ω 与 $R_2=40$ Ω 在 $12$ V 下串联，电流 $0.24$ A，两者发热 $0.576$ W 与 $2.304$ W，比值 $1:4$ 与电阻比一致，大电阻更热。

并联时电压处处相同，$P=U^2/R$ 里只有 $R$ 不同，发热与电阻成反比：同样两个电阻并联在 $12$ V 上，发热 $14.4$ W 与 $3.6$ W，比值 $4:1$，反过来了，小电阻更热。

因此「电阻大的更费电」这句话没有确定的对错，它取决于这个电阻是与别的元件串着还是并着。串联的白炽灯里功率大的那只更亮，并联的家用电器里电阻小的那件更耗电，两句话都对，说的是不同的电路。

5 · 参考文献

1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapters 26–27. Wiley.
2. Fitzgerald, A. E., Kingsley, C., & Umans, S. D. (2003). Electric Machinery (6th ed.), Chapter 7. McGraw-Hill.
3. Irwin, J. D., & Nelms, R. M. (2020). Basic Engineering Circuit Analysis (12th ed.), Chapter 2. Wiley.