r = mv/(qB)

带电粒子在磁场中的圆周运动

磁场、磁感应强度与安培力处理的是宏观的通电导线；把导线换成单个运动的带电粒子，磁场对它施加的力叫洛伦兹力（Lorentz force） $F=qvB$ （ $v$ 与 $B$ 垂直时）。方向仍由左手定则给出：让磁感线穿入手心，四指指向正电荷运动的方向，这时大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向；负电荷所受的力与此相反。

1 · 洛伦兹力提供向心力

洛伦兹力的方向始终垂直于速度，这一点决定了它只能改变运动方向，不能改变速率——垂直于速度的力不做功。速度大小不变、方向连续偏转，轨迹只能是圆，洛伦兹力恰好充当向心力：

qvB = \frac{mv^2}{r}

两边消去一个 $v$ ，解出半径

r = \frac{mv}{qB}

粒子做的是匀速圆周运动：速率不变，只有方向随时间转动。

2 · 周期与速度无关

圆周运动的周期 $T=2\pi r/v$ ，代入上式的 $r$ ， $v$ 恰好消去：

T = \frac{2\pi m}{qB}

半径依赖 $v$ ，周期却不依赖 $v$ ——速度更快的粒子画出更大的圆，但绕一整圈用的时间和慢粒子完全相同，只由荷质比 $q/m$ 与磁场强度 $B$ 决定。下方把速度调到两倍来验证这条结论：半径确实翻倍，周期的读数小数点后五位分毫不差。

图 2-1 · 正电荷在垂直纸面向外的匀强磁场中做匀速圆周运动。可调初速度 v、荷质比 q/m 与磁感应强度 B，下方一行按当前 v 的两倍另算一遍，对照半径与周期哪个变了、哪个没变。

注 · 这条「周期与速度无关」的性质是回旋加速器（cyclotron）能用固定频率的交变电场持续加速粒子的物理基础——每半圈用时相同，加速电场只需按这个固定周期翻转，不必跟着粒子越转越快而调整频率。

真实电子的荷质比约 ${1.76\times10^{11}}$ C/kg，比上方滑块能给出的范围大了十个数量级；图 2-1 的 $q/m$ 、 $B$ 取值只是为了让轨迹半径落在画布可见的范围内，不代表任何真实粒子的量级。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 28 (Magnetic Fields). Wiley.