磁通量

磁场、磁感应强度与安培力用安培力标定了磁感应强度 $B$，那是描述磁场某一点强弱的量。电磁感应关心的却不是某一点，而是穿过一个面的磁场总量：线圈里生不生出电动势，取决于穿过线圈的磁场总量变不变。本页给出这个量的定义与它的三条变化途径，随后两页的楞次定律与法拉第定律都建立在它之上。

1 · 定义与符号

匀强磁场 $B$ 中放一个面积为 $S$ 的平面线圈，法线与 $B$ 的夹角为 $\theta$，则穿过线圈的磁通量（magnetic flux）

单位是韦伯（Wb），$1$ Wb $=1$ T·m²。$S\cos\theta$ 是线圈面在垂直于 $B$ 的平面上的投影面积，所以 $\Phi$ 也可以读成「$B$ 乘以有效面积」。$\theta=0$ 时线圈正对磁场、投影面积就是 $S$ 本身，$\Phi$ 取最大；$\theta=90°$ 时线圈平面与 $B$ 平行，投影面积为零，$\Phi=0$——此时磁感线擦着线圈平面走，一条也不穿过。

取 $B=0.5$ T、$S=200$ cm²，core/flux.ts 给出 $\theta=0$ 时 $\Phi=10.000$ mWb、$\theta=60°$ 时 $5.000$ mWb、$\theta=90°$ 时 $0$。韦伯对实验室尺度偏大，这类读数通常落在 mWb 量级。

$\Phi$ 是标量，但「标量」不等于「非负」。$\theta$ 越过 $90°$ 后 $\cos\theta$ 变负，$\Phi$ 随之为负：$\theta=120°$ 给出 $-5.000$ mWb。负号的含义只是磁感线从法线正方向的反面穿入，同一个物理状态换一个法线正方向就变正。要紧的是选定之后不能中途改：感应电动势的方向判断全靠 $\Phi$ 符号的变化，中途换约定等于把结论的正负颠倒。

把 $\Phi=BS\cos\theta$ 反解，$B=\Phi/(S\cos\theta)$，即单位垂直面积上的磁通量——这正是 $B$ 的另一个名字「磁通密度」的来源。两个名字指同一个量，前者从安培力定义、后者从磁通量定义，历史上是两条独立的路。

2 · 磁通链与匝数

$N$ 匝线圈的每一匝都被同样的磁通量穿过，感应电动势按匝串联累加，故起作用的量是磁通链（flux linkage）$N\Phi$。$N=50$、$\Phi=10$ mWb 时 $N\Phi=0.5$ Wb。

匝数不进单匝的 $\Phi$，这一点在写法拉第定律时容易出错：$\varepsilon=N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ 里的 $\Phi$ 是单匝的磁通量，而不是已经乘过 $N$ 的磁通链；把 $N$ 乘两次是这条式子最常见的算错。

3 · 变化的三条途径

$\Phi=BS\cos\theta$ 有三个因子，任何一个变都让 $\Phi$ 变，而感应电动势只认 $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$，不问这个变化率是哪个因子贡献的。

以 $B_0=0.5$ T、$S_0=200$ cm²、$\theta_0=60°$ 为起点，要得到 $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t=0.02$ Wb/s，三条途径各自需要的速率是：改变磁感应强度需 $2.0000$ T/s；改变面积需 $800$ cm²/s；改变取向需 $-132.319$ °/s。三组参数毫无相似之处，fluxRate 用中心差分逐一核对，三者在 $t=0$ 处的 $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ 都是 $0.02000000$ Wb/s，故 $50$ 匝线圈上的电动势都是 $1$ V。

三条途径有一处不对等。改变 $B$ 或 $S$ 时 $\Phi(t)$ 是直线，$\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ 全程恒定，可以给出稳定的直流电动势；改变 $\theta$ 时 $\Phi(t)=BS\cos(\theta_0+\omega t)$ 是正弦的一段，$\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t=-BS\omega\sin(\theta_0+\omega t)$ 时刻在变，给出的是交流电。正弦交流电的产生与描述里峰值电动势 $NBS\omega$ 的那个 $\omega$，就是这一路的角速度。

反算「靠转动」这一路时撞上一个奇点：$\theta_0=0$ 处 $\sin\theta_0=0$，$\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ 在 $t=0$ 恒为零，无论转多快都产生不了瞬时电动势，反算需要的角速度趋于无穷。这不是数值问题——线圈正对磁场的那一瞬间，转动确实不改变磁通量（$\cos\theta$ 在 $\theta=0$ 处的导数为零），发电机在这个位置的瞬时电动势正是零。rateForTargetEmf 因此对 $\theta_0$ 有下限要求，lab 的滑块从 $15°$ 起。

4 · 参考文献

1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 30. Wiley.
2. Purcell, E. M., & Morin, D. J. (2013). Electricity and Magnetism (3rd ed.), Chapter 7. Cambridge University Press.
3. Griffiths, D. J. (2017). Introduction to Electrodynamics (4th ed.), Chapter 7. Cambridge University Press.