理想变压器与输电损耗

变压器与远距离输电

上一页把交流电动势写成 $e(t)=E_m\sin(\omega t)$ ，本页接着处理它落地要解决的两个问题：怎么把电压变到需要的档次，以及为什么长途输电偏偏要用几万甚至几十万伏这种远超家用电压的档次。前一个问题由变压器回答，后一个问题由输电线本身的电阻回答。

1 · 理想变压器的电压比与电流比

理想变压器由原线圈（匝数 $n_1$ ）与副线圈（匝数 $n_2$ ）共用同一铁芯构成：交流电通过原线圈产生变化的磁通，同一磁通穿过副线圈感应出电压。理想情形下忽略线圈电阻、铁芯磁滞与涡流损耗，原、副线圈的电压比等于匝数比：

\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}

若进一步认定输入功率全部转化为输出功率（ $P_1=P_2$ ，理想变压器本身不消耗净功率），由 $U_1I_1=U_2I_2$ 立即得到电流比与匝数比成反比：

\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}

$n_2>n_1$ 是升压：副线圈电压更高、电流更小； $n_2<n_1$ 是降压，情形相反。这两条比例关系只在理想化条件下成立。

警示 · 「输入功率等于输出功率」只在忽略线圈电阻的焦耳热、铁芯的磁滞损耗与涡流损耗时成立。真实变压器都有效率损失，铭牌上标注的效率通常在 95%–99%，满载时的损耗以发热的形式散失在铁芯与线圈里，这也是大型变压器需要油浸或风冷散热的原因。

2 · 输电线路的损耗功率与传输电压

发电厂到用户之间的输电线本身有电阻 $R$ ，这段电阻上会白白消耗一部分本该送到用户手里的功率。设需要传输的功率为 $P$ （近似取 $P=UI$ ，忽略功率因数），线路电流 $I=P/U$ ：电压越高，同样的功率对应的电流越小。输电线上损耗的功率

P_{loss}=I^2R=\left(\frac{P}{U}\right)^2R

随传输电压 $U$ 升高按 $1/U^2$ 衰减。这是电网宁可先把电压升到几万、几十万伏，输送到用户附近再用降压变压器换回 220 V 的根本原因：同样一段线路电阻，电压提高的倍数越大，损耗降得越快。

例 2.1 某电站需要输出 $100$ kW 功率，输电线电阻 $R=2\ \Omega$ 。若直接用 $220$ V 输送： $I=100000/220\approx454.5$ A， $P_{loss}=I^2R\approx413$ kW——已经超过要送出的功率本身，输电线路会先被烧毁，这条方案根本不成立。换成 $220$ kV 输送： $I\approx0.4545$ A， $P_{loss}\approx0.41$ W，占比不到百万分之一。电压提高了 $1000$ 倍，损耗功率按 $1/U^2$ 降到了原来的百万分之一，这正是高压输电线路存在的理由。

图 2-1 · 损耗功率随传输电压变化的曲线。可调传输功率

P

、线路电阻

R

与传输电压

U

，读数栏给出当前电流、损耗功率与损耗占比，曲线标出当前点在

1/U^2

衰减曲线上的位置。

低电压区间损耗随 $U$ 升高下降得极快，电压越往上抬，继续升压带来的边际收益越小——这也是为什么实际电网分了多档电压（十千伏级配电、几十至几百千伏级输电），越往电源侧走电压越高，越往用户侧走电压越低，逐级降压换取的是逐级降低的线路损耗与逐级提高的用电安全性。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 31. Wiley.
Electric power transmission. Wikipedia. 高压输电降低线路损耗的原理，及电网分级电压的实际安排。https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_power_transmission