物理 / 电磁学 · 从电场到交流电 / 感抗、容抗与串联谐振 待审核 15 / 15
X_L · X_C · f₀=1/2π√(LC)

感抗、容抗与串联谐振

正弦交流电的产生与描述里的负载是纯电阻，欧姆定律照旧适用、电压与电流同相。换成电感或电容，情况变了两处：阻碍作用的大小与频率有关，且电压与电流不再同相。本页给出这两种元件各自的表现，再把 R、L、C 串成一个回路，考察阻抗随频率变化的样子以及它取到最小值的那个频率。

1 · 两种与频率有关的阻碍

电感线圈里电流变化时，自感电动势反抗这个变化。变化越快、反抗越强，所以电感对高频交流的阻碍大、对低频小，对直流（频率为零）则完全不阻碍——只剩绕组的直流电阻。正弦稳态下这个阻碍的大小写作感抗（inductive reactance）

XL=ωLX_L = \omega L

电容则相反。电容器隔断直流，但交流下极板反复充放电，电路里始终有电流通过；频率越高，同一段时间内充放电的次数越多、电流越大，阻碍越小。这个阻碍是容抗（capacitive reactance）

XC=1ωCX_C = \frac{1}{\omega C}

两条式子的量纲都是欧姆，但它们与电阻有一个本质区别：电阻消耗能量，电抗不消耗。电感在电流上升时把能量存进磁场、下降时还回电路，电容在充电时存进电场、放电时还回，一个周期内平均功率为零。所以「阻碍电流」与「消耗能量」在交流电路里是两件不同的事。

不消耗能量的代价是相位。电感上的电压超前电流 90°90°，电容上的电压滞后 90°90°，电阻上的电压与电流同相。三者的相位差固定不变，与频率、与元件参数都无关。

2 · 串联阻抗与谐振频率

把 R、L、C 串成一个回路，通过三者的是同一个电流。以电流为参考相位，三个元件上的电压分别在 0°0°、+90°+90°、−90°-90° 方向上，总电压是它们的矢量和。竖直方向上 ULU_L 与 UCU_C 方向相反、直接相减，于是总电压的大小

U=IR2+(XL−XC)2U = I\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

括号里是净电抗 X=XL−XCX=X_L-X_C。阻抗的模

∣Z∣=R2+(XL−XC)2|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L-X_C)^2}

XLX_L 随频率上升、XCX_C 随频率下降，二者必在某个频率相等，此处净电抗为零、∣Z∣|Z| 取到最小值 RR、电流取到最大。由 ωL=1/(ωC)\omega L=1/(\omega C) 解出这个频率

ω0=1LC,f0=12πLC\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

称为谐振频率（resonant frequency）。它只由 LL 与 CC 决定，与 RR 无关；RR 决定的是谷有多深，不是谷在哪里。

取 L=100L=100 mH、C=10C=10 μF、R=20R=20 Ω，core/rlc.ts 给出 ω0=1000\omega_0=1000 rad/s、f0=159.155f_0=159.155 Hz。此频率下 XL=XC=100X_L=X_C=100 Ω、∣Z∣=20|Z|=20 Ω。f=50f=50 Hz 时 ∣Z∣|Z| 是 287.59287.59 Ω，电流只有谐振时的 1/14.41/14.4。

图 2-1 · 感抗、容抗与阻抗的频率响应。可调 RR、LL、CC 与频率，两条电抗曲线的交点与阻抗谷底始终落在同一横坐标上；调 RR 只改变谷的深浅。

3 · 谐振时的元件电压

谐振时净电抗为零，容易误读成「电感与电容上没有电压」。恰恰相反，此刻两者上的电压各自达到最大：

UL=UC=IXL=UR⋅ω0L=QU,Q=1RLCU_L = U_C = I X_L = \frac{U}{R}\cdot\omega_0L = QU, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

上面那组参数给出 Q=5Q=5。电源电压幅值 1010 V 时，ULU_L 与 UCU_C 各是 5050 V，是电源的 5 倍，而三个电压的算术和 110110 V 远超总电压 1010 V。这不矛盾：交流电路里「各分电压之和等于总电压」指的是矢量和，ULU_L 与 UCU_C 方向相反、相加为零，剩下的 UR=10U_R=10 V 正是总电压。

工程上这件事要紧。串联谐振电路里 QQ 越高，元件承受的电压越高于电源电压，选电容时必须按 QUQU 而不是 UU 定耐压。RR 调小到 22 Ω 时 QQ 升到 5050，1010 V 的电源会在电容上压出 500500 V。

图 3-1 · 电压相量图，电流方向水平向右。可调频率观察竖直分量从容性到感性的翻转，以及谐振时两个分量各自最长却恰好抵消；调 RR 观察 QQ 与元件电压的同步变化。

4 · 与机械振子是同一个方程

RLC 串联回路的方程与阻尼振动与受迫共振里的受迫振子逐项对应。以电荷 qq 为变量，

Lq¨+Rq˙+qC=Ucos⁡ωtL\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = U\cos\omega t

对照 mx¨+bx˙+kx=F0cos⁡ωtm\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos\omega t，有 L↔mL\leftrightarrow m（惯性）、R↔bR\leftrightarrow b（耗散）、1/C↔k1/C\leftrightarrow k（回复）。ω0=1/LC\omega_0=1/\sqrt{LC} 就是 k/m\sqrt{k/m} 换了记号。

两个系列各自定义的品质因数应当是同一个数。那边写作 Q=ω0/(2γ)Q=\omega_0/(2\gamma)，其中 γ=b/(2m)\gamma=b/(2m)；这边写作 Q=(1/R)L/CQ=(1/R)\sqrt{L/C}。代入上面那组参数，dampingRatio 给出对应的阻尼比 ζ=0.1\zeta=0.1，而 1/(2ζ)=51/(2\zeta)=5，与 (1/R)L/C=5(1/R)\sqrt{L/C}=5、ω0L/R=5\omega_0L/R=5 三者逐位相同。半功率带宽同理：那边给的是 2γ2\gamma，这边写成 R/L=200R/L=200 rad/s，也等于 ω0/Q=200\omega_0/Q=200。

对应关系还预告了一件事。机械系统的位移共振峰不在 ω0\omega_0 而在 ω02−2γ2\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}，速度共振峰才精确在 ω0\omega_0；照 q↔xq\leftrightarrow x 的对应，RLC 电路里「电荷幅值」的峰同样偏离 ω0\omega_0，而「电流幅值」（即 q˙\dot{q}）的峰精确落在 ω0\omega_0 上。教科书讲串联谐振时说的「谐振时电流最大」，对应的是速度共振那一支，所以它精确成立、与 RR 无关；若换成问「电容上的电荷何时最大」，答案就会随 RR 漂移。

这条推论是先在力学那边算出峰位公式、再顺着对应表推过来的，不是从电学教材上读到的，所以核对了一遍。换算过来的 γ=R/(2L)\gamma=R/(2L)，上面那组参数给出 γ=100\gamma=100，预言电荷峰位 106−2×104=989.949\sqrt{10^6-2\times10^4}=989.949 rad/s。以 0.0010.001 rad/s 的步长扫描电流幅值与电荷幅值，前者的峰在 1000.0001000.000、后者在 989.949989.949。换 RR 再扫三组：R=10R=10 Ω 时电荷峰在 997.496997.496（预言 997.497997.497）、R=60R=60 Ω 时 905.538905.538（预言 905.539905.539）、R=120R=120 Ω 时 529.150529.150（预言 529.150529.150）。跨系列搬过来的公式在四组参数上都对得上。

5 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 31. Wiley.
  2. Irwin, J. D., & Nelms, R. M. (2020). Basic Engineering Circuit Analysis (12th ed.), Chapters 8 and 12. Wiley.
  3. Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 23. Addison-Wesley.