extrema · 上界被取到才是最值

最大值与最小值：定义与存在性

一个有界函数的上界有无穷多个，其中最小的那个称为上确界(supremum)。最大值比上确界多一条要求：必须存在定义域内的某个 $x_0$ ，使 $f(x_0)$ 恰好等于这个上确界。少了这一条， $y = x^2$ 在 $(-1, 2)$ 上就会有「最大值 4」这样的说法，而 4 在该区间上根本取不到。

1 · 定义中的存在量词

max · min · 上确界与最大值之别

定义 1.1（最大值） 设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $I$ 。若存在 $x_0 \in I$ ，使得对任意 $x \in I$ 都有 $f(x) \le f(x_0)$ ，则称 $f(x_0)$ 是 $f$ 的最大值。把不等号反向，即得最小值的定义。

定义里有两个量词，次序不能调换：先「存在 $x_0$ 」，再「对任意 $x$ 」。前一个量词管的是取到，后一个管的是不被超过。日常说的「最多能到多少」只涉及后者，所以它对应的是上界而不是最大值。

值域的写法与最值直接对应：值域写成 $[m, M]$ 时最小值 $m$ 与最大值 $M$ 都取到；写成 $[m, M)$ 时只有最小值存在。

2 · 单调性给出的最值位置

单调性把候选位置压到很少几处。若 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，则最小值在左端点、最大值在右端点；单调递减则两者互换。若 $[a, b]$ 被分成先减后增的两段，最小值落在两段的交界处，最大值在两个端点里取较大的那个。这就是二次函数求最值时「先定对称轴、再看区间与对称轴的相对位置」的来由。

图 2-1 · 区间内的曲线加粗、区间外淡显，两个端点按开闭画成实心或空心。可切换函数与区间、开合端点，并加密采样观察上确界与采样最大值之间的差额。

3 · 闭区间与开区间的分野

最值定理(extreme value theorem)断言：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数一定同时取到最大值与最小值。闭与连续两个条件缺一不可。 $y = 1/x$ 在 $(0, 1]$ 上连续但区间不闭，向左无界，最大值不存在； $y = x^2$ 在 $(-1, 2)$ 上连续、有界，上确界 4 落在被排除的端点处，最大值同样不存在，而最小值 0 在内部取到，不受端点开合影响。

「取到」这件事无法由采样判定，这一点在实现里很直白。scanRange 在 $(-1, 2)$ 上跳过两个端点扫描 $y = x^2$ ：600 个采样点给出的最大值是 3.980，与上确界差 0.020；加到 1200 点是 3.990，差 0.010；加到 4000 点是 3.997，差 0.003。差额随点数成比例缩小却永不为零，这正是「上确界存在而最大值不存在」的数值形态。本页的 lab 把每个样例的极值位置（左端点、右端点还是内部）写进定义，由解析式裁定存在性，数值只负责报出具体的值。

4 · 参考文献

Maximum and minimum. Wikipedia. 最大值与最小值的定义及它同确界的区别。https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_and_minimum
Infimum and supremum. Wikipedia. 上下确界的定义与存在性。https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum
Extreme value theorem. Wikipedia. 最值定理的陈述，以及闭与连续两个条件各自的必要性。https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem