幂函数 $y = x^\alpha$：底是自变量

幂函数（power function）形如 $y = x^\alpha$：底 $x$ 是自变量，指数 $\alpha$ 是常数。它与指数函数 $y = a^x$ 把底与指数的角色对调，两者最容易混淆，区分的唯一判据是看自变量落在哪个位置。

1 · 指数决定的三项性质

改变 $\alpha$ 得到一族形态差异很大的曲线，而定义域、奇偶性与正半轴上的单调性三项都由 $\alpha$ 唯一决定。

$\alpha$ 为正偶数时图象开口向上、是偶函数；为正奇数时关于原点中心对称、是奇函数。$\alpha = -1$ 时图象是等轴双曲线的两支。$\alpha$ 为其他负数时图象不是双曲线，$y = x^{-2}$ 的两支都在 $x$ 轴上方，与双曲线的形状无关——只有 $\alpha = -1$ 这一个取值给出双曲线。

正半轴上的单调性只看 $\alpha$ 的符号：$\alpha > 0$ 时在 $(0, +\infty)$ 上递增，$\alpha < 0$ 时递减，$\alpha = 0$ 时退化成常值函数 $y = 1$（$x \ne 0$）。无论 $\alpha$ 取何值，只要 $x > 0$，曲线都恒过定点 $(1, 1)$，因为 $1^\alpha = 1$。

2 · 分数指数处的定义域口径

$\alpha$ 为分数时定义域需要单独交代，而其中有一处口径分歧，不说清就会与指数与对数的运算那一页矛盾。

分数指数幂 $a^{m/n}$ 的定义要求 $a > 0$，理由是负底数下它的值依赖分数的写法：$(-8)^{1/3}$ 按立方根应得 $-2$，而 $(-8)^{2/6}$ 按定义是 $\sqrt[6]{(-8)^2} = 2$，同一个指数约分前后给出不同结果。按这条定义，$y = x^{1/3}$ 的定义域只能是 $[0, +\infty)$。

另一种写法把它读作立方根函数 $y = \sqrt[3]{x}$，奇次根式对负数有定义，定义域是全体实数。两种读法的函数不同，图象也不同——后者在第三象限还有一支。

3 · 实现里的三处不一致

代码把上一节那道分歧暴露得更直接。JavaScript 的 Math.pow 采纳的正是 $a > 0$ 那条口径：Math.pow(-8, 1/3) 返回 NaN，而专门的 Math.cbrt(-8) 返回 -2。同一个数学表达式，两个函数给出的一个是无定义、一个是实数。

约分前后的分歧也照样复现：Math.pow(-8, 2/6) 返回 NaN，而先平方再开六次方的 Math.pow(Math.pow(-8, 2), 1/6) 返回 2。这与 §2 里那个手算的例子逐字对应，只是把「依赖写法」变成了「依赖调用次序」。

第三处不一致出在正半轴，而且比预想的普遍。$1/3$ 不是二进制可表示数，Math.pow(x, 1/3) 算的是 $x$ 的 0.333333333333333314829616256247 次幂，与真正的立方根差一点。实测在 $x$ 取 $0.001$ 到 $100$ 共 $100000$ 个点上，Math.cbrt(x) 与 Math.pow(x, 1/3) 有 $42694$ 个点不相等（约 $42.7\%$），最大相对差 $2.22 \times 10^{-16}$，即一个 ulp（node v26.6.0）。偏差本身可以忽略，但它会让 Math.pow(x, 1/3) ** 3 === x 这类判等在四成的输入上失败，作图取样时应固定用 Math.cbrt。

4 · 参考文献

1. Power function. Wikipedia. 幂函数的分类与各类指数下的图象形态。https://en.wikipedia.org/wiki/Power_function
2. Nth root. Wikipedia. 奇次根式对负数的定义，以及它与分数指数幂的口径差别。https://en.wikipedia.org/wiki/Nth_root
3. Math.cbrt. MDN. 单列立方根方法的理由与它同 Math.pow 的差别。https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Math/cbrt