parity ·

f(-x) = f(x)

或

f(-x) = -f(x)

奇偶性：图象关于 y 轴还是原点对称

奇偶性描述函数图象的对称性。它与单调性一样是整体性质，判定要对定义域内每一个 $x$ 成立；但它多一道前置条件，这道条件常被跳过。

1 · 前提与定义

even · odd · 定义域对称

定义 1.1（奇函数与偶函数） 设函数 $f$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，即 $x \in D$ 时必有 $-x \in D$ 。若对每个 $x \in D$ 都有 $f(-x) = f(x)$ ，称 $f$ 为偶函数；若都有 $f(-x) = -f(x)$ ，称 $f$ 为奇函数。

定义域关于原点对称这一条是前提而非结论：不满足它， $f(-x)$ 就可能没有定义，两个等式都无从谈起。 $f(x) = \sqrt{x}$ 的定义域是 $[0, +\infty)$ ，取 $x = 1$ 时 $f(-1)$ 不存在，所以它既不是奇函数也不是偶函数，而理由与函数值无关，只与定义域有关。判定奇偶性的第一步因此永远是查定义域。

两个等式在几何上对应两种对称：偶函数的图象关于 $y$ 轴对称，因为 $(x, f(x))$ 与 $(-x, f(x))$ 等高；奇函数的图象关于原点中心对称，因为 $(x, f(x))$ 与 $(-x, -f(x))$ 的连线过原点且被原点平分。

图 1-1 · 点

(x, f(x))

与横坐标取相反数得到的点，以及读数栏对

f(-x)

、

f(x)

、

-f(x)

三者的逐项对比。可拖动

x

并切换函数，观察两点是等高、关于原点对称，还是二者皆非。

2 · 由定义直接推出的结论

corollaries ·

f(0) = 0

定理 2.1 若 $f$ 是奇函数且 $0$ 在其定义域内，则 $f(0) = 0$ 。

证明在 $f(-x) = -f(x)$ 中取 $x = 0$ ，得 $f(0) = -f(0)$ ，即 $2f(0) = 0$ ，故 $f(0) = 0$ 。∎

这条推论有实际用处：奇函数的图象若与 $y$ 轴相交，交点只能是原点。反过来它也是一条快速的排除判据， $f(x) = x^3 + 1$ 在 $0$ 处取值 $1 \ne 0$ ，不必验算就知道它不是奇函数。前提「 $0$ 在定义域内」不可省， $f(x) = 1/x$ 是奇函数而 $f(0)$ 无定义。

第二条结论是奇偶性并非二分：大多数函数两条等式都不满足， $f(x) = x^2 + x$ 即是。第三条是恒等于零的函数（定义域关于原点对称）同时满足两条定义，它是唯一既奇又偶的一类，因为 $f(x) = -f(x)$ 迫使 $f$ 处处为零。

3 · 浮点下的对称性

float · 符号对称是精确的

原以为奇对称在双精度下会像对数换底那样出现末位偏差，实测并没有。对 $x^3 - x$ 、 $x/(1 + x^2)$ 、 $\sin x$ 、 $\tan x$ 、 $\sinh x$ 五个奇函数各取 $200000$ 个点逐一比较 $f(-x)$ 与 $-f(x)$ ，不相等的点数是 $0$ ，最大偏差是精确的 $0$ （node v26.6.0）。原因是 IEEE 754 的四则运算与这些库函数都在符号上严格对称：符号位单独存放，取相反数只翻一位，不参与尾数的舍入。

警示 · 唯一的例外在原点，而且它只影响判等的写法。取 $f(x) = x^3 - x$ ， $f(-0)$ 算出 $0$ 而 $-f(0)$ 算出 $-0$ ：用 === 比较为真，因为 -0 === 0；用 Object.is 比较为假。这不是精度问题，是 $\pm 0$ 这两个不同位模式表示同一个实数所致。判定奇偶性时用 === 或带容差的比较即可，改用 Object.is 会在原点处误报。

4 · 参考文献

Even and odd functions. Wikipedia. 定义、图象对称与常见性质。https://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions
Signed zero. Wikipedia. IEEE 754 里 $+0$ 与 $-0$ 的区别及其判等后果。https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero