core · 混合策略 / minimax 定理

混合策略：无鞍点时，把出招交给骰子

无鞍点的对局里，死守任一纯策略都会被对手摸透。出路是随机化:Blue 不再固定出某行，而是以概率 $p$ 出第一行、 $1-p$ 出第二行——一个混合策略 (mixed strategy)。神奇之处：存在一个最优 $p^*$ ，无论 Red 怎么应对，Blue 都能保证收益不低于博弈值 $V$ 。这就是 von Neumann 的 minimax 定理。

1 · 把期望收益画成两条线，取下包络的最高点

固定一个混合比例 $p$ ,Blue 的期望收益取决于 Red 出哪列：Red 出左得到一条直线 $E_L(p)$ ，出右得到另一条 $E_R(p)$ 。Red 会挑对 Blue 更差的那条，所以 Blue 实际能拿到的是两线的下包络 $\min(E_L, E_R)$ 。Blue 调 $p$ 把这条下包络顶到最高点，该处的高度就是博弈值 $V$ ；内点最优时最高点恰是两线交点。

在 $p^*$ 之外，Red 总能把 Blue 压到某条线的低处；只有在最优点处两条线一样高——Red 怎么应都一样，Blue 的保底被顶到最高。

图 1-1 · 两条期望收益直线与它们的下包络。可拖动概率滑块让游标沿包络滑动，最高点处的纵坐标即博弈值。

1.1 · 为什么交点处「Red 怎么应都一样」

内点最优时 $p^*$ 让 $E_L(p^*) = E_R(p^*)$ ——Blue 故意调到「让 Red 的两个纯应对收益相等」的比例。这叫无差异原则 (indifference)：把对手调到「怎么选都一样」，他就无法利用己方的偏向。当最优混合落在开区间内时，Red 也有一个 $q^*$ 让 Blue 的两行收益相等；退化到端点时则不存在这样的 $q$ 。两人各自的保底在同一个数 $V$ 上对齐——这正是混合策略 Nash 均衡，von Neumann 的 minimax 定理保证它在有限二人零和博弈里总存在。

1.2 · 有鞍点时，混合自动退化为纯策略

第三个预设（有鞍点）里两条线恰好平行，下包络的最高点落在 $p=0$ 或 $p=1$ 的端点——也就是「纯出某一行」。一般而言有鞍点并不意味着两线不相交： $[[2,5],[1,0]]$ 有鞍点，两线仍交于 $p=0.25$ ，只是那个交点是下包络的极小而非极大，最优点照样落在端点。这与鞍点一节完全一致：纯策略只是混合策略的特例（概率 0/1）。所以混合策略是更一般的解，minimax 定理把「总有解」从有鞍点的特例，推广到了所有零和博弈。

1.3 · 它真实跑在哪里

扑克与竞技对抗里的诈唬频率、安全博弈（随机巡逻 / 抽检让对手无法预测）、体育（发球方向、点球左右）的最优随机化、以及生成对抗网络 (GAN) 等 minimax 优化的理论原型——凡是「一旦被对手看穿规律就会被针对」的场合，最优解几乎都是一个精心校准的混合策略。

2 · 参考文献

von Neumann, J. (1928). Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen, 100(1), 295–320. https://doi.org/10.1007/BF01448847