算术平均不小于几何平均

基本不等式：算术平均与几何平均

两个正数 $a$ 与 $b$ 有两种平均：算术平均 $\frac{a + b}{2}$ 与几何平均 $\sqrt{ab}$ 。前者不小于后者，这条基本不等式（AM–GM inequality）是高中阶段求最值的主要工具。它的证明只用到一个平方非负，几何解释则藏在一个半圆里：半弦永远短于半径。

1 · 两种平均的定义

定义 1.1（算术平均与几何平均） 对 $a > 0$ 与 $b > 0$ ，算术平均（arithmetic mean）指 $\frac{a + b}{2}$ ，几何平均（geometric mean）指 $\sqrt{ab}$ 。几何平均之所以要求两数为正，是因为 $ab < 0$ 时根号无意义。

两者都落在 $a$ 与 $b$ 之间，区别在于靠哪一端更近。 $a = 1$ 、 $b = 100$ 时算术平均是 $50.5$ ，几何平均是 $10$ ；几何平均对小的那个数更敏感，这也是它在增长率、比例问题里更合适的原因。

2 · 半圆中的半径与半弦

直径分成两段

在一条线段上取一点，把它分成长为 $a$ 与 $b$ 的两段，再以整条线段为直径作半圆。半圆的半径是 $\frac{a + b}{2}$ 。过分点作直径的垂线，交半圆于一点，这条半弦的长恰为 $\sqrt{ab}$ ：直径所对的圆周角是直角，垂足两侧的两个直角三角形相似，于是半弦长 $h$ 满足 $h^2 = ab$ 。

半弦的一端在圆上，另一端在圆心所在的直径上，长度自然不超过半径，而两者相等只发生在垂足与圆心重合处，也就是 $a = b$ 。

图 2-1 · 以

a + b

为直径的半圆中，半径与垂足处半弦的长度对照。可调两段长度观察间隙，或切到积定和最小一栏，看取等点落在区间外时最小值退到哪里。

3 · 配方给出的证明

定理 3.1 对任意 $a > 0$ 与 $b > 0$ ，有 $\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$ ，等号成立当且仅当 $a = b$ 。

证明由平方非负， $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ 。展开得 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ ，两边加 $2\sqrt{ab}$ 再除以 $2$ ，即得 $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 。等号成立当且仅当 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$ ，即 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ ，由开方的单调性等价于 $a = b$ 。∎

证明顺手给出了间隙的闭式：

\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}

间隙由两数之差的平方控制，两数越接近，间隙收缩得越快。这条闭式在浮点数里会失效。实测 $a = 0.13$ 与 $b = 0.130000002$ 两数并不相等，闭式给出的间隙约为 $3.8 \times 10^{-18}$ ，而双精度直接算 $\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab}$ 得到的恰好是 $0$ ；把两数再靠近一档到 $b = 0.130000001$ ，算出的间隙变成 $-2.8 \times 10^{-17}$ ，几何平均反倒比算术平均大。core/inequalities.ts 的 amGm 因此不按间隙判取等，改判 $|a - b| < 10^{-9}$ ：在 $0.13$ 这个量级上，双精度的分辨率约为 $2.8 \times 10^{-17}$ ，而两数相差 $10^{-9}$ 时的真实间隙只有 $10^{-18}$ 量级，本就装不进一个 number。

4 · 和定积最大与积定和最小

一条不等式的两种用法

把定理 3.1 反过来读，就得到两条求最值的套路。

和为定值： $a + b = s$ 固定时， $\sqrt{ab} \le \frac{s}{2}$ ，故 $ab \le \frac{s^2}{4}$ ，积在 $a = b = \frac{s}{2}$ 处取到最大值。
积为定值： $ab = p$ 固定时， $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{p}$ ，故 $a + b \ge 2\sqrt{p}$ ，和在 $a = b = \sqrt{p}$ 处取到最小值。

例 4.1 求 $f(x) = x + \frac{9}{x}$ 在 $x > 0$ 上的最小值。两项之积 $x \cdot \frac{9}{x} = 9$ 与 $x$ 无关，属积为定值的情形，故 $f(x) \ge 2\sqrt{9} = 6$ ，取等条件 $x = \frac{9}{x}$ 给出 $x = 3$ 。最小值 $6$ 在 $x = 3$ 处取到。

5 · 取等条件失效的情形

一正二定三相等

课本把使用条件概括为「一正二定三相等」：各项为正、乘积或和为定值、取等点可达。三条里最容易漏掉的是第三条。

警示 · 取等点不在定义区间内时，基本不等式给出的下界取不到，此时它只是一个界而不是最小值。例 4.1 若把定义域限制为 $x \in [4, 10]$ ，取等点 $x = 3$ 落在区间之外； $f$ 在 $[3, +\infty)$ 上递增，最小值退到左端点， $f(4) = 6.25$ ，而不是 $6$ 。lab 的积定和最小一栏按这条规则判定：取等点在区间内时报告 $2\sqrt{p}$ ，否则报告端点值并标出取等点已越界。

第二条同样有坑。 $x + \frac{4}{x^2}$ 的两项之积是 $\frac{4}{x}$ ，随 $x$ 变化，直接套用基本不等式得到的 $2\sqrt{\frac{4}{x}}$ 仍含 $x$ ，不是常数下界。这类式子要先拆项配凑出定值，例如把 $x$ 拆成 $\frac{x}{2} + \frac{x}{2}$ 后对三项使用三元形式。

6 · 参考文献

Inequality of arithmetic and geometric means. Wikipedia. 算术几何平均不等式的多种证明、半圆构图与 $n$ 元推广。https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means
Geometric mean. Wikipedia. 几何平均的定义、几何解释与适用场合。https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean
Thales's theorem. Wikipedia. 直径所对的圆周角为直角，半圆构图里相似三角形的依据。https://en.wikipedia.org/wiki/Thales%27s_theorem