穿针引线与数轴上的距离

分式不等式与绝对值不等式

分式与绝对值这两类不等式，都不能照搬解方程的动作。方程 $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 可以直接去分母，不等式不行，因为 $g(x)$ 的符号未知，乘上去方向不定；方程 $|x - a| = b$ 可以直接拆成两种情形，不等式则要按零点把数轴分段。两者的出路相同：化归为某个函数的符号问题，再回到图象与数轴上读区间。

1 · 分式不等式的等价转化

商与积同号，这给出最常用的一步转化： $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 与 $f(x) \cdot g(x) > 0$ 同解。取等的情形要多补一句， $\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0$ 等价于 $f(x) \cdot g(x) \ge 0$ 且 $g(x) \ne 0$ ，因为分母为零处原式无意义，而乘积在那里恰好为零。

警示 · 两边同乘分母是最常见的错法。 $\frac{x + 1}{x - 2} \ge 1$ 若两边同乘 $x - 2$ ，得 $x + 1 \ge x - 2$ ，化简成 $1 \ge -2$ ，结论是全体实数。正确的做法是先移项通分： $\frac{x + 1}{x - 2} - 1 = \frac{3}{x - 2} \ge 0$ ，分子恒为正，故解集是 $(2, +\infty)$ 。错解多出来的那一大片，正是 $x < 2$ 时分母为负、乘法反向而没有翻转不等号的后果。方向规则见不等式的性质：方向何时翻转 §2。

2 · 穿针引线与重根

奇穿偶不穿

分子分母都分解成一次因式之积以后，把所有根标在数轴上，各段的符号只差一个正负号的交替。做法称为穿针引线（也叫数轴标根）：自最右一段起，若最高次项系数为正则该段为正，向左每越过一个根就按它的重数决定换不换号——奇重根换号，偶重根不换。

偶重根不换号的理由与不等式即「图象的高低」 §1 里的一样：因式 $(x - r)^2$ 在 $r$ 的两侧同号，图象只与 x 轴相切而不穿过。分母的根同样参与换号，但它们永远不进解集。

图 2-1 · 分式的符号分段与解集色带，虚线是分母的零点。可拖动三个根与不等号，切换根的重数观察奇穿偶不穿，另有两栏演示绝对值不等式。

注 · core/inequalities.ts 的 solveFactored 把分子与分母的因式合并成一张符号表，再按不等号挑段。偶重根在表里不换号，取等时它又满足原式，于是成为解集里的一个孤立点： $(x - 2)^2 (x + 1) \le 0$ 的解集是 $(-\infty, -1] \cup \{2\}$ 。这一串字符不能原样搬进图注——指令属性在第一个右花括号处截断，整条 lab 指令会退化成页面上的一行源码。

3 · 绝对值与数轴上的距离

定义 3.1（绝对值） $|x|$ 指 $x$ 到原点的距离， $x \ge 0$ 时为 $x$ ， $x < 0$ 时为 $-x$ 。推广一步， $|x - a|$ 是数轴上 $x$ 与 $a$ 两点之间的距离。

有了距离这层意思， $|x - a| < b$ 读作「与 $a$ 的距离小于 $b$ 」，解集是以 $a$ 为中心、 $b$ 为半径的开区间 $(a - b, a + b)$ ； $|x - a| > b$ 则是这个区间之外的两条射线。 $b \le 0$ 时不必套公式：距离非负， $b < 0$ 使小于号无解、大于号恒成立， $b = 0$ 时小于号无解而不小于号只剩单点 $x = a$ 。

4 · 零点分段与距离之和

中间一段是常数

两个绝对值相加时，几何意义变成「到两个定点的距离之和」。 $|x - p| + |x - q|$ 的两个零点把数轴切成三段，逐段去掉绝对值符号，得到一条折线：在两点之外，函数以斜率 $\pm 2$ 上升；夹在两点之间时，两段距离之和恒等于两点间距 $|p - q|$ 。函数的最小值就是 $|p - q|$ ，且在整条闭线段上处处取到，而不是只在一个点上。

例 4.1 解 $|x + 1| + |x - 3| \le 6$ 。两个零点是 $-1$ 与 $3$ ，间距为 $4$ ，函数最小值 $4$ 不超过 $6$ ，故有解。设区间向两侧各延伸 $s$ ，由 $6 = 4 + 2s$ 得 $s = 1$ ，解集为 $[-2, 4]$ 。右端若换成 $4$ ，解集缩成闭区间 $[-1, 3]$ ；再小于 $4$ 则无解。

分段讨论是通法：把每个绝对值的零点都标出来，在每一段上按定义去掉绝对值符号，解出该段内的解，最后取并集。含参数或含三个以上绝对值时，这套流程仍然适用，只是段数变多。

5 · 参考文献

Absolute value. Wikipedia. 绝对值的定义、距离解释与基本不等式。https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value
Sign (mathematics). Wikipedia. 乘积与商的符号法则，穿针引线的代数依据。https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_(mathematics)
Multiplicity (mathematics). Wikipedia. 根的重数如何决定图象在该点穿过还是相切。https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicity_(mathematics)