f(x) > g(x) \iff h = f - g > 0

比较两个函数：作差回到一张图

不等式 $f(x) > g(x)$ 比较的是两个函数的大小： $f$ 的图象在哪些 $x$ 处落在 $g$ 的上方。两条曲线的交点是相对高低发生翻转的位置。

1 · 作差法

h = f - g

· 化归为一条曲线

$f(x) > g(x)$ 与 $f(x) - g(x) > 0$ 是同一个不等式。令 $h(x) = f(x) - g(x)$ ，两条曲线的比较就化归为一条曲线与 $x$ 轴的高低，回到图象的高低那一页的框架——这就是作差法。

它的价值在于统一：无论 $f$ 、 $g$ 各是什么函数，比较大小都归结为判断一个函数的符号。取 $f(x) = x + 1$ 、 $g(x) = x^2 - 1$ ，则 $h(x) = -x^2 + x + 2$ ，原不等式即一元二次不等式 $-x^2 + x + 2 > 0$ ，落回抛物线与判别式的框架，解得 $-1 < x < 2$ 。两条曲线的交点横坐标 $-1$ 与 $2$ 正是 $h$ 的零点。

图 1-1 · 同一坐标系里的两条曲线与测试点，横轴色带是当前不等号的解集。可拖动测试点比较两处函数值的高低，并切换函数组合。

2 · 两条算路的一致性

f - g

vs 化简式

作差之后通常要把 $h$ 化简成一个多项式再求根，于是同一个 $h(x)$ 有两条算路：逐个求值再相减，或者代入化简后的表达式。写本节时原以为两者会在零点附近给出不同的符号——那里 $h$ 的值趋于零，相减的相对误差本该被放大。

实测推翻了这个预期。取上面那组函数，在 $[-3, 3]$ 上取 $2000000$ 个点，逐点比较 f(x) - g(x) 与 -x*x + x + 2 的符号：不一致的点数是 $0$ ，两者的最大差值只有 $8.88 \times 10^{-16}$ （node v26.6.0）。在两个零点 $x = -1$ 与 $x = 2$ 处，两条算路都精确地给出 $0$ 。

注 · 一致的原因是这组函数的两条算路都只做加、减、乘，而 IEEE 754 的减法在结果可表示时是精确的；相消损失的是有效位，不是符号。符号真会翻的场合需要更强的相消，例如零点附近的值来自两个近乎相等的大数之差——一元二次不等式那一页的求根公式就是这样一个例子，那里的偏差达到了两成半。所以「作差会不会改变符号」不能一概而论，取决于差是怎么算出来的。

3 · 参考文献

Inequality (mathematics). Wikipedia. 不等式的等价变形与作差法。https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
Loss of significance. Wikipedia. 相近数相减导致的有效位损失。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance