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f(x) > g(x) ⟺ f 在 g 上方

比较两个函数：作差回到一张图

不等式 f(x) > g(x) 比较的是两个函数的大小。把 f 与 g 画在同一坐标系里，它就是在问：f 的图象在哪些 x 处落在 g 的上方？两条曲线的交点，正是两者相对高低发生翻转的分界点。更一般地，f(x) > g(x) 等价于 f(x)−g(x)>0f(x) - g(x) > 0——这就是作差法：令 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x)，两条曲线的比较就化归为一条曲线 h 与 x 轴的高低，回到 图象的高低 那一页。

1 · 拖动测试点：谁在上方？

f(x) > g(x) ⟺ f 在 g 上方

选一组函数并拖动测试点 x。图上标出 f(x)（蓝点）与 g(x)（橙点）：蓝点更高说明此处 f(x) > g(x)。两条曲线的交点即 f(x) = g(x) 的解，也就是 h(x)=f(x)−g(x)=0h(x) = f(x) - g(x) = 0 的根。横轴上的色带是当前不等号的解集，正是满足条件的那些 x 的投影。

作差法的价值在于统一：无论 f、g 各是什么函数，比较大小最终都归结为判断一个函数 h=f−gh = f - g 的符号。以 f(x) = x + 1、g(x)=x2−1g(x) = x^2 - 1 为例，h(x)=(x+1)−(x2−1)=−x2+x+2h(x) = (x + 1) - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 2，于是 f(x) > g(x) 就是解一元二次不等式 −x2+x+2>0-x^2 + x + 2 > 0——两条曲线的比较，落回到 抛物线与判别式 的框架里。