不等式 · 与函数图象的关系

解一个不等式，本质上是在问一个关于函数图象的问题。f(x) > 0 并不是一道孤立的代数题，它等价于「函数 y = f(x) 的图象在哪些 x 处落在 x 轴上方」；f(x) < 0 则对应图象在 x 轴下方。把满足条件的那些 x 投影回横轴，得到的区间就是解集(solution set)。

本系列围绕这条桥接展开：先建立「不等号即图象高低」的一般对应，再落到高中最核心的一元二次不等式——用二次函数(quadratic)的抛物线与判别式(discriminant) Δ 分三种情形求解；最后把两个函数放到同一坐标系，f(x) > g(x) 化归为作差后的 f(x) − g(x) > 0，回到同一张图上的高低比较。每页都可拖动测试点或系数，即时看到图象、交点与解集区间如何联动。

不等式与图象 · 高低即符号

一切的起点：把不等号 > / < 读成图象相对 x 轴的高低。函数值的正负，就是图象在轴上方还是下方；解集，就是这些位置在横轴上的投影。分界点正是图象与 x 轴的交点（零点）。

f(x) > 0 ⟺ 图象在 x 轴上方

不等式即「图象的高低」

选一条函数（一次 / 二次 / x³ - x），拖动测试点 x，观察 (x, f(x)) 落在 x 轴上方还是下方。f(x) > 0 的那些 x 投影到横轴上得到一条色带——它就是解集。零点（图象与 x 轴的交点）恰好是正负号的分界点。

一句话记住整个系列

解不等式 = 找图象高低的分界点，再读区间。 分界点就是图象与 x 轴的交点（零点），或两条曲线的交点；把它们标在横轴上，逐段判断图象在轴上方还是下方（或哪条曲线更高），满足条件的那些段投影回横轴，就是解集。代数解法（因式分解、求根公式）只是在计算这些分界点的坐标，几何图象则告诉你每一段取哪个符号。 典型不等式 · 二次与比较

把桥接用到两类最常见的不等式上：一元二次不等式借抛物线 + 判别式分情形求解；两个函数的大小比较则用作差法化归为一个函数与 x 轴的高低，回到起点那张图。

ax² + bx + c > 0 · 判别式 Δ

一元二次不等式：抛物线与判别式

拖动系数 a、b、c，看抛物线与 x 轴的交点如何随判别式 Δ = b² - 4ac 变化。按 Δ > 0 / Δ = 0 / Δ < 0 三种情形，图象在 x 轴上方 / 下方的部分投影成解集，并与 a > 0 时四种不等号的解集形态对照。

f(x) > g(x) ⟺ f 在 g 上方

比较两个函数：作差回到一张图

同一坐标系里画 f 与 g，f(x) > g(x) 就是 f 的图象在 g 上方的那段 x。它等价于 f(x) - g(x) > 0——作差法把两条曲线的比较，化归为一条曲线 h = f - g 与 x 轴的高低，回到 图象的高低 那一页。

相关链接

• Inequality — Wikipedia en.wikipedia.org 不等式的定义、性质与解集 / 区间记法。
• Zero of a function — Wikipedia en.wikipedia.org 零点即 f(x) = 0 的根，也是图象与 x 轴的交点。
• Quadratic equation — Wikipedia en.wikipedia.org 求根公式与判别式 Δ = b² − 4ac 的三种情形。
• Quadratic function — Wikipedia en.wikipedia.org 二次函数的抛物线、顶点与开口方向。
• Graph of a function — Wikipedia en.wikipedia.org 函数图象与两图象交点的代数含义。