不等式 · 从性质到典型解法

不等式有两条底线。一条是性质：两边同时变形之后，不等号的方向是保持还是翻转——乘正数保序、乘负数反序、同号取倒数反序，而同向的两个不等式可加不可减、同正可乘不可除。另一条是图象：f(x) > 0 等价于「函数 y = f(x) 的图象在哪些 x 处落在 x 轴上方」，把满足条件的那些 x 投影回横轴，得到的区间就是解集(solution set)。

本系列按这两条线展开：先厘清变形的方向规则，再建立「不等号即图象高低」的一般对应；随后落到高中最核心的四类题型——用判别式(discriminant) Δ 分情形求解一元二次不等式，用基本不等式(AM–GM inequality) 求「和定积最大、积定和最小」的最值，用穿针引线与数轴上的距离处理分式与绝对值，用分类讨论对付系数里带参数的情形；最后补上老教材「不等式选讲」里的两条工具——柯西不等式(Cauchy–Schwarz inequality) 与排序不等式(rearrangement inequality)，它们不经图象，直接给出内积与配对和的界。每页都可拖动测试点或系数，即时看到图象、分界点与解集区间如何联动。

不等式的性质 · 变形时方向何时翻转

一切变形的合法性都归结为一个差的符号。两边同加恒保序，同乘的方向由乘数正负决定，取倒数只在两数同号时反序；同向的两个不等式可以相加、同正时可以相乘，但相减与相除都不成立。

保序与反序的分界

不等式的性质：方向何时翻转

不等式两边做同一种变形，方向未必保持。乘正数保序、乘负数反序、同号取倒数反序；同向不等式可加不可减、同正可乘不可除。

不等式与图象 · 高低即符号

把不等号 > / < 读成图象相对 x 轴的高低。函数值的正负，就是图象在轴上方还是下方；解集，就是这些位置在横轴上的投影。分界点正是图象与 x 轴的交点（零点）。

$f(x) > 0 \iff$ 图象在 x 轴上方

不等式即图象的高低

解不等式即读图象在 x 轴上方还是下方，零点是符号的分界。穿根法的依据是单根处变号，而偶重根处不变号——这一条也让基于采样的变号扫描漏掉偶重根。

一句话记住整个系列

解不等式 = 先保证变形合法，再找图象高低的分界点，然后读区间。 变形是否合法看方向规则（乘负数、取倒数、平方都可能翻转）；分界点就是图象与 x 轴的交点（零点）、两条曲线的交点，或绝对值的零点；把它们标在横轴上，逐段判断图象在轴上方还是下方，满足条件的那些段投影回横轴，就是解集。代数解法（因式分解、求根公式、穿针引线）只是在计算这些分界点的坐标并定出每段的符号。

端点的开闭由不等号定，不由分段定

分界点标好之后还剩一个独立的判断：端点算不算在解集里。> / < 一律取开区间；≥ / ≤ 把分子的根、绝对值的零点纳入，但分母的零点永远挖去——那里原式无意义，与取不取等无关。偶重根在取等时会成为解集中的一个孤立点，这是端点判定与分段判定确实分离的一处证据。 典型不等式 · 二次、均值、分式与含参

把桥接用到几类常见题型：一元二次不等式借抛物线 + 判别式分情形；基本不等式把最值问题化为两个平均的比较；分式与绝对值分别靠穿针引线与距离解释；系数含参时按二次项系数、判别式与两根大小逐层讨论。柯西不等式与排序不等式则不经图象，直接给出内积与配对和的界。

$ax^2 + bx + c > 0$ · $\Delta$

一元二次不等式：抛物线与判别式

判别式决定抛物线与 x 轴的交点个数，开口方向决定哪一段对应哪个不等号，两者共同定出解集形态。求根公式在两根相差悬殊时会算坏小根。

$f(x) > g(x) \iff h = f - g > 0$

比较两个函数：作差回到一张图

两个函数比大小就是看谁的图象在上方；作差法把它化归为一条曲线与 x 轴的高低，从而统一到零点与符号的框架里。

算术平均不小于几何平均

基本不等式：算术平均与几何平均

两个正数的几何平均不超过算术平均，取等当且仅当两数相等。半圆里的半弦与半径给出几何解释，配方给出代数证明，和定与积定给出最值应用。

穿针引线与数轴上的距离

分式不等式与绝对值不等式

分式不等式化为同号的乘积再判符号，穿针引线按重数决定穿与不穿；绝对值不等式回到数轴上的距离，两个绝对值之和按零点分段。

按系数与判别式分情形

含参一元二次不等式的讨论

含参二次不等式按三条界线分情形：二次项系数是否为零与正负、判别式的符号、两根的大小。以 $ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0$ 为例给出全部分支。

内积的界与配对的序

柯西不等式与排序不等式

柯西不等式把内积的平方压在两列数的平方和之积以下，判别式法与向量法各给一条独立证明，取等即两向量共线。排序不等式的交换论证说明顺序配对的和最大，同一套论证也是贪心算法正确性的标准写法。

相关链接

• Inequality — Wikipedia en.wikipedia.org 不等式的定义、性质与解集 / 区间记法。
• Total order — Wikipedia en.wikipedia.org 三分性与传递性，序关系性质的公理化来源。
• Zero of a function — Wikipedia en.wikipedia.org 零点即 f(x) = 0 的根，也是图象与 x 轴的交点。
• Quadratic equation — Wikipedia en.wikipedia.org 求根公式与判别式 Δ = b² − 4ac 的三种情形。
• Quadratic function — Wikipedia en.wikipedia.org 二次函数的抛物线、顶点与开口方向。
• Graph of a function — Wikipedia en.wikipedia.org 函数图象与两图象交点的代数含义。
• Inequality of arithmetic and geometric means — Wikipedia en.wikipedia.org 基本不等式的几何证明、代数证明与 n 元推广。
• Absolute value — Wikipedia en.wikipedia.org 绝对值的定义与数轴上的距离解释。
• Multiplicity — Wikipedia en.wikipedia.org 根的重数决定图象在该点穿过还是相切，即穿针引线的奇穿偶不穿。
• Proof by exhaustion — Wikipedia en.wikipedia.org 分类讨论作为一般的证明与求解方法。