按系数与判别式分情形

含参一元二次不等式的讨论

系数里带一个字母的不等式，解不出单一答案。 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集形态随 $a$ 的取值发生质变：二次项系数为零时它根本不是二次不等式，系数为负时开口翻转，判别式变号时实根消失。分类讨论（case analysis）要做的，是把参数轴切成若干段，使每一段内部的解集形态保持一致，再逐段给出答案。

1 · 讨论的分界依据

分界只来自三处，且有固定的先后顺序。

先看二次项系数。 $a = 0$ 时二次项消失，不等式退化为一次，这一支必须单独处理，漏掉它是最常见的失分点。 $a \ne 0$ 时再看正负， $a > 0$ 开口向上，小于零的解夹在两根之间； $a < 0$ 开口向下，小于零的解落在两根之外。

其次是判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 。它决定抛物线与 x 轴有几个交点，三种情形对应的解集形态见一元二次不等式：抛物线与判别式 §2 的对照表。

最后是两根的大小。求根公式给出的两个表达式，谁大谁小可能随参数改变，而区间的写法要求先分清左右端点。这一条只在两根都含参数时才需要。

2 · 覆盖全部分支的例子

两根是 1 与 1 / a

取 $ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0$ 。左端可以分解为 $(ax - 1)(x - 1)$ ，两个分界点分别是 $x = \frac{1}{a}$ 与 $x = 1$ ，判别式 $\Delta = (a + 1)^2 - 4a = (a - 1)^2$ 恒不为负。本例的分界因此不在判别式的符号，而在两个分界点的大小与开口方向。

参数范围	分界点位置	解集
a = 0	退化为 −x + 1 < 0	(1, +∞)
a < 0	1 / a < 0 < 1	(−∞, 1 / a) ∪ (1, +∞)
0 < a < 1	1 < 1 / a	(1, 1 / a)
a = 1	两点重合于 1	∅
a > 1	1 / a < 1	(1 / a, 1)

$a < 0$ 那一支的解集之所以是两条射线，是因为开口向下时抛物线只在两根之间露出 x 轴上方，小于零的部分反而在外侧。 $a = 1$ 时两点重合， $(x - 1)^2 < 0$ 无解，而同一个 $a$ 若把不等号换成 $\le$ ，解集会变成单点集。

图 2-1 · 抛物线随参数

a

变形，色带是当前分支的解集。可拖动

a

或点按预置值，观察两个分界点如何交换左右、以及开口方向翻转时解集从区间变成两条射线。

3 · 判别式起作用的一支

§2 的判别式是一个完全平方，永远不为负，讨论跳过了这一层。换一道题就不同了。

例 3.1 解 $x^2 - 2x + a < 0$ ，判别式为 $\Delta = 4 - 4a$ 。 $a \ge 1$ 时 $\Delta \le 0$ ，抛物线开口向上且不越过 x 轴下方，解集为空； $a < 1$ 时两根为 $1 \pm \sqrt{1 - a}$ ，解集是 $(1 - \sqrt{1 - a},\ 1 + \sqrt{1 - a})$ 。两根的大小关系在此已由正负号确定，无需再分一层。

对照两例可以看出三条界线的独立性：例 3.1 的开口方向固定、两根大小固定，只有判别式在变；§2 的例子判别式恒非负，变的是开口方向与两根大小。一道题需要分几层，取决于哪几条界线真的会被参数跨过。

4 · 数值求根在此处的分辨率

步长 0.00325

本页的分支不走本系列共用的数值求根器，理由是它在两根靠近时会整段漏掉解。findRoots 在 $[-6.5, 6.5]$ 上取 $4000$ 个样点，步长为 $0.00325$ ，靠相邻样点的符号变化定位根。 $a = 1.001$ 时两个分界点是 $0.999001$ 与 $1$ ，相距 $0.000999$ ，没有样点落进这一小段，符号变化无从发现：findRoots 返回空数组，buildSolution 随之报出空集，而正确解集是 $(0.999, 1)$ 。

同样的参数量级并不总是失败。 $a = 0.999$ 的两个分界点是 $1$ 与 $1.001$ ，相距也约 $0.001$ ，那一次却恰好有样点落进两根之间，两个根都找到了。成败取决于采样格点的位置而非参数本身，这种不可预期正是本页改用解析分支的原因：solveParamQuadratic 直接按上表给出端点，与样点无关。

警示 · 分类讨论的每一支都要回代验证端点归属。 $a = 1$ 一支的解集为空，而把不等号改成 $\le$ 之后同一支的解集是单点，两者的差别不在分类而在取等。分支划分与端点开闭是两件事，前者由参数决定，后者由不等号决定。

5 · 参考文献

Quadratic equation. Wikipedia. 求根公式、判别式与根的分布。https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
Discriminant. Wikipedia. 判别式的定义及其对实根个数的判定。https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Proof by exhaustion. Wikipedia. 分类讨论作为证明与求解方法的一般形式。https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_exhaustion