一元二次不等式：抛物线与判别式

一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（$a \ne 0$）的解，就是二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的抛物线落在 $x$ 轴上方的那段 $x$。定出解集只需两件信息：抛物线与 $x$ 轴的交点个数，以及开口方向。

1 · 判别式与开口方向

判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定交点个数：$\Delta > 0$ 两个交点，$\Delta = 0$ 相切于一点，$\Delta < 0$ 无交点。开口方向由 $a$ 的符号决定，$a > 0$ 向上、$a < 0$ 向下。

两者缺一不可，而且各管一件事：判别式回答「有没有根、有几个」，开口方向回答「上方那一段落在哪里」。同样是 $\Delta > 0$，$a > 0$ 时 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解在两根之外，$a < 0$ 时反而在两根之间，因为开口向下时上方的那段恰好夹在两个交点当中。

2 · 解集形态的对照表

固定开口向上，把三种判别式情形与四种不等号列成对照。记两个不同实根为 $x_1 < x_2$，重根为 $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$。$a < 0$ 的情形把不等号两边同乘 $-1$ 并反向，即转化为 $a > 0$ 后查表。

表里最容易记错的是 $\Delta = 0$ 那一列：$> 0$ 的解是挖掉一点的整条数轴，$\ge 0$ 的解是整条数轴，$\le 0$ 的解只有一个点，$< 0$ 无解。四种不等号在这一列上给出四种不同的答案。

3 · 求根公式算坏小根

查表要先有根，而根通常由求根公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ 算出。两根相差悬殊时，这条公式会把小的那个算坏，坏到偏差以两成计。

原因是相消：$b^2 \gg 4ac$ 时 $\sqrt{\Delta} \approx |b|$，于是 $-b + \sqrt{\Delta}$ 这一支是两个近乎相等的数相减，有效位大量抵消。取 $x^2 - 10^8 x + 1 = 0$，真实的两根是 $10^8$ 与 $10^{-8}$ 附近。朴素公式算出的小根是 $7.450580596924 \times 10^{-9}$，与 $10^{-8}$ 差了约 $25\%$，代回原式的残差是 $0.255$。改用 $x_1 = \dfrac{q}{a}$、$x_2 = \dfrac{c}{q}$（其中 $q = -\dfrac{b + \operatorname{sign}(b)\sqrt{\Delta}}{2}$）避开那次减法，小根算出 $1.000000000000 \times 10^{-8}$，残差 $1.11 \times 10^{-16}$。

判别式自身反而少有意外。$\Delta$ 理论上为零的几组系数实测都精确得到 $0$：$(1, 2, 1)$、$(1, -2, 1)$、$(4, 4, 1)$，以及量级悬殊的 $(1, 10^7, 2.5 \times 10^{13})$ 都算出零，因为 $b^2$ 与 $4ac$ 在这些例子里都是可精确表示的整数。所以「$\Delta = 0$ 判不准」在这一族输入上并不成立，出问题的是它之后的那次减法。

4 · 参考文献

1. Quadratic function. Wikipedia. 抛物线的开口、顶点与判别式。https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_function
2. Quadratic formula. Wikipedia. 求根公式及其数值稳定的改写。https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_formula
3. Loss of significance. Wikipedia. 相消导致的有效位损失。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance
4. Forsythe, G. E. (1966). How do you solve a quadratic equation? Technical Report CS40, Stanford University. 求根公式的数值陷阱与稳定算法。