保序与反序的分界

不等式的性质：方向何时翻转

一个不等式在变形之后是否仍然成立，取决于这次变形对序做了什么。等式两边同时加、减、乘、除同一个非零数，结论都不变；不等式没有这份自由，乘上一个负数就会让两边的大小关系整个倒过来。判断的依据只有一条：把不等号还原成一个差的符号，再看变形把这个符号变成了什么。

1 · 大小关系与差的符号

定义 1.1（大小关系） 对实数 $a$ 与 $b$ ， $a > b$ 指 $a - b > 0$ ， $a < b$ 指 $a - b < 0$ ， $a = b$ 指 $a - b = 0$ 。三者恰有一个成立，这一条称为序的三分性（trichotomy）。

由这条定义，性质的证明一律化归为判断一个差的符号。传递性即为一例： $a > b$ 与 $b > c$ 分别给出 $a - b > 0$ 与 $b - c > 0$ ，两个正数相加得 $(a - b) + (b - c) = a - c > 0$ ，故 $a > c$ 。对称性同理， $a > b$ 与 $b < a$ 说的是同一个差 $a - b$ 的符号，只是把它写在了不等号的哪一侧。

比较两个函数：作差回到一张图 §1 用的作差法，正是这条定义在函数上的版本：比较 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小，就是判断 $f(x) - g(x)$ 的符号。

2 · 单式变形的方向

加减乘除与乘方开方

设 $a < b$ 。下表逐项列出一次变形之后两边的大小关系，条件一栏是这条规则成立所需的前提。

变形	条件	变形后
两边同加 c	无	a + c < b + c
两边同乘 c	c > 0	ac < bc
两边同乘 c	c < 0	ac > bc
两边取倒数	ab > 0	1 / a > 1 / b
两边取倒数	a < 0 < b	1 / a < 1 / b
两边平方	0 ≤ a < b	a² < b²
两边平方	a < b ≤ 0	a² > b²
两边开平方	0 ≤ a < b	√a < √b
两边立方	无	a³ < b³

表里只有加法一行不带条件，这就是可加性：移项之所以合法，是因为它等价于两边同加一个数。乘法的方向由乘数的符号决定， $c = 0$ 时两边同时塌成 $0$ ，严格不等号退化为等号，这也是解形如 $cx > d$ 的不等式时必须先讨论 $c$ 的符号的原因。

取倒数一行常被口诀简化成「取倒数就变号」，而两个数分居原点两侧时并非如此： $-2 < 5$ 取倒数得 $-0.5 < 0.2$ ，方向没有变。倒数函数在 $x = 0$ 处断开，只有在同一支上它才是单调减的。

图 2-1 · 变形前后两个端点在数轴上的位置对照，连线交叉即方向翻转。可切换变形方式与两端取值，或切到同向合成一栏比较四种运算。

平方是唯一一项无法只凭 $a < b$ 定向的变形。core/inequalities.ts 的 predictOp 对六种变形逐一给出方向，只在 $a < 0 < b$ 的平方处返回 null；单测在 $a \in [-2, -0.25]$ 、 $b \in [0.25, 2]$ 的 $8 \times 8$ 网格上核对实算结果，三种关系都出现过： $a = -2$ 、 $b = 0.25$ 得 $4 > 0.0625$ ， $a = -0.5$ 、 $b = 0.5$ 得两边相等， $a = -0.25$ 、 $b = 2$ 得 $0.0625 < 4$ 。规则给不出方向的地方，只能按两数与原点的相对位置再分一次类。

3 · 同向不等式的合成

可加不可减

两个同向的不等式 $a < b$ 与 $c < d$ 可以相加：由 $b - a > 0$ 与 $d - c > 0$ 得 $(b + d) - (a + c) > 0$ ，即 $a + c < b + d$ 。这条同向可加没有任何附加条件。若两边都为正，同向的不等式还可以相乘： $0 < a < b$ 与 $0 < c < d$ 给出 $ac < bd$ 。

相减与相除则不成立，二者都不是把「同向」用错了方向，而是根本没有这条性质。

警示 · 同向不等式相减、相除都会给出错误结论。取 $a = 1 < b = 2$ 与 $c = 0 < d = 5$ ，相减得 $a - c = 1$ 与 $b - d = -3$ ，结论 $a - c < b - d$ 不成立。取 $a = 1 < b = 2$ 与 $c = 1 < d = 4$ ，相除得 $a / c = 1$ 与 $b / d = 0.5$ ，结论同样不成立。需要相减时，正确的做法是把 $c < d$ 反向写成 $-d < -c$ 再与 $a < b$ 相加，得到的是 $a - d < b - c$ 这一条异向的结论。

乘法的正性前提也不能省。 $-3 < 1$ 与 $-3 < 1$ 两式同向，相乘左端得 $9$ 、右端得 $1$ ，方向翻转。

4 · 参考文献

Inequality (mathematics). Wikipedia. 序关系的基本性质与保序、反序变换的一览。https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
Total order. Wikipedia. 三分性、传递性与全序的公理化表述。https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order
Monotonic function. Wikipedia. 单调函数与保序映射，取倒数分支单调性的来源。https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function