f(x) > 0 \iff

图象在 x 轴上方

不等式即图象的高低

解不等式 $f(x) > 0$ 就是问：函数 $y = f(x)$ 的图象在哪些 $x$ 处落在 $x$ 轴上方。函数值的正负即图象相对 $x$ 轴的高低，把满足条件的那些 $x$ 投影回横轴，得到的集合称为解集（solution set）。

1 · 符号的分界点

sign of

f(x)

· 上方 / 下方

图象与 $x$ 轴的交点，即方程 $f(x) = 0$ 的根，是符号可能改变的唯一位置。函数在两个相邻零点之间不变号——若变号，由零点存在定理（见函数的零点与二分法）中间还得再有一个根，与「相邻」矛盾。所以只要定出一段的符号，整条数轴的符号分布就定了。

严格不等号与非严格不等号只差端点： $f(x) > 0$ 的解集不含零点，端点为开； $f(x) \ge 0$ 含零点，端点为闭。

图 1-1 · 函数值的正负与图象相对

x

轴的高低，横轴色带为当前不等号的解集，端点的空心与实心区分开闭。可拖动测试点，观察它落在色带内外与函数值符号的关系。

2 · 穿根法与重根的例外

穿根法 · 偶重根不变号

把全部零点按大小排在数轴上，它们把数轴切成若干段；定出最右一段的符号后逐段交替，即得各段符号。这就是穿根法。它的依据是零点处「穿过」 $x$ 轴，而穿过与否取决于重数。

定理 2.1 设 $f(x) = (x - r)^m g(x)$ ，其中 $g(r) \ne 0$ 且 $g$ 在 $r$ 附近连续。则 $f$ 在 $r$ 两侧变号当且仅当 $m$ 为奇数。

证明在 $r$ 的一个足够小邻域内 $g$ 不变号，故 $f$ 的符号由 $(x - r)^m$ 与 $g$ 的固定符号之积决定。 $x - r$ 在 $r$ 两侧异号，其奇次幂随之异号、偶次幂同号。∎

于是穿根法在偶重根处要「不穿」： $f(x) = (x-1)^2(x-2)$ 的零点是 $1$ 与 $2$ ，但符号只在 $2$ 处改变， $1$ 的两侧同为负。

3 · 采样扫描漏掉偶重根

sign scan · 加密无用

用程序找零点的常见做法是等距取样、检查相邻两点是否变号。这条做法对偶重根系统性失效，而且加密采样不解决问题。

把 $f(x) = (x-1)^2(x-2)$ 放在 $[0, 3]$ 上扫描，切 $10$ 段检出的变号区间中点是 $1.950$ ，切 $100$ 段是 $1.995$ ，切 $1000$ 段是 $1.999$ ，切 $10000$ 段是 $2.000$ 。四种精度都只找到 $x = 2$ 这一个， $x = 1$ 一次都没出现——不是精度不够，是那里根本不变号，加密到任何段数都不会出现。

注 · 这条局限决定了实现的分工：变号扫描只能用来定位奇重根，偶重根必须另配手段，例如同时扫描导函数的零点，或对多项式先做无平方因子分解。把「扫不到变号」读成「该处没有根」是错的，而这个错误不会以任何异常的形式暴露出来，扫描函数照样返回一个看着完整的根列表。

4 · 参考文献

Inequality (mathematics). Wikipedia. 不等式的解集与图象读法。https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
Multiplicity (mathematics). Wikipedia. 根的重数与它对符号变化的影响。https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicity_(mathematics)
Square-free polynomial. Wikipedia. 无平方因子分解，用于分离重根。https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_polynomial