物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 机械能守恒与转化 待审核 14 / 21
Ep+Ek 是否恒定

机械能守恒与转化

上一页证明了合外力做的功等于动能的变化量，对任意力都成立。本页把这条定理套进一种特殊情形：除了重力，没有别的力做功。这时动能与重力势能的总和不再随时间变化，机械能守恒由此显出它只是动能定理的一个推论，而不是另一条独立规律；一旦摩擦参与做功，这个特例条件被打破，总和也就不再守恒。

1 · 机械能：动能与重力势能之和

重力势能（gravitational potential energy）Ep=mghE_p=mgh，hh 是相对某个参考面的高度，参考面取在哪里可以任意选，选不同参考面只会给 EpE_p 加上同一个常数，两个位置之间的势能差与选择无关。机械能（mechanical energy）E=Ek+EpE=E_k+E_p，是动能与重力势能的总和；本页不涉及弹簧一类的弹性势能，只讨论重力与摩擦。

2 · 只有重力做功时的守恒

若除重力外没有其他力做功——轨道光滑、不计空气阻力——合外力做的功就等于重力做的功。重力做的功恰好等于重力势能的减少量，Wgravity=−ΔEpW_{gravity}=-\Delta E_p，代入动能定理 Wnet=ΔEkW_{net}=\Delta E_k 得

ΔEk=−ΔEp⟹ΔEk+ΔEp=0\Delta E_k = -\Delta E_p \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_k+\Delta E_p=0

动能与重力势能的总和因此保持不变，这就是机械能守恒：它不是与动能定理并列的另一条规律，只是把动能定理套进「唯一做功的力是重力」这一具体条件后自动得到的结果。自由落体与竖直上抛里已经用运动学算过的问题，换这套账本重新算一遍，会得到同一个末速度——账本换了，物理事实没变。

3 · 摩擦介入后的能量转化

一旦摩擦力也做功，合外力做的功就是重力与摩擦力两项功的代数和：Wnet=−ΔEp+WfrictionW_{net}=-\Delta E_p+W_{friction}，其中 Wfriction≤0W_{friction}\le 0（摩擦力总是阻碍相对滑动，做负功）。代入动能定理，整理出机械能前后两个状态的差：

E−E0=Wfriction,Q=E0−E=∣Wfriction∣E - E_0 = W_{friction}, \qquad Q = E_0-E = |W_{friction}|

QQ 是这段过程里转化为内能的能量——机械能减少的量，一分不多一分不少地变成了摩擦面上的热。这是能量守恒定律更一般的表述（总能量，包括内能，始终不变）在这个具体问题里的体现：机械能不守恒，不代表能量凭空消失。

图 3-1 · 小球沿 V 形轨道下滑再爬升，动能与重力势能堆叠柱和虚线标出的初始机械能对照。可调斜面倾角 θ\theta、释放高度 h0h_0、摩擦因数 μ\mu，并开关摩擦，观察柱顶是否始终贴着虚线。

警示 · 动能定理与机械能守恒容易被当成同一件事的两种说法，二者的适用范围并不相同：动能定理对任意力都成立，机械能守恒只在没有摩擦这类力做功时才成立。上方 lab 默认参数（θ=30°\theta=30°、h0=3h_0=3 m、μ=0.3\mu=0.3）下，小球滑到左斜面底部（s=6s=6 m）时，若误用机械能守恒直接令 Ek=E0−EpE_k=E_0-E_p，算出的速度约 7.677.67 m/s；实际计入摩擦损耗后用动能定理算出的正确值约 5.315.31 m/s，高估了近 44%44\%。同一组参数下，摩擦还大到让小球在爬到 s≈9.11s\approx 9.11 m（右斜面上、高度仅 0.550.55 m）时就已经停下，远没有回到出发时的 33 m。

4 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 8. Wiley.
  2. Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for Scientists and Engineers (10th ed.), Chapter 8. Cengage.