物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 功、功率与动能定理 待审核 13 / 21
Wnet = ΔEk

功、功率与动能定理

位移、速度这些量已由位置、速度与匀变速直线运动给出定义，本页在此基础上开一本新账：力做的功。这本账不追踪加速度随时间的细节，只看始末两个状态之间的差值，动能定理由此成为比牛顿第二定律更直接的一条路径。

1 · 恒力做的功

功（work）由力与位移共同定义：力大小 FF、位移大小 ss、力与位移方向的夹角 θ\theta，三者相乘

W=Fscos⁡θW = Fs\cos\theta

即为这个力做的功。θ=0\theta=0 时力与位移同向，W=FsW=Fs 最简单；θ=90°\theta=90° 时力与位移垂直，cos⁡θ=0\cos\theta=0，无论力多大都不做功——提着水平放置的书包在平地上匀速走一段，重力全程垂直于位移，功恒为零，即便手臂确实感到费力。力方向不变但大小随位置变化的情形（变力做功），把位移分成许多小段，每段上力近似不变，功近似为 FΔxF\Delta x，累加起来就是 FF-xx 图中曲线下的面积——这与匀变速直线运动里 vv-tt 图下面积等于位移是同一套几何思路，只是纵轴换成了力。

2 · 功率

功率（power）衡量做功的快慢：一段时间 tt 内做的功为 WW，平均功率 P=WtP=\dfrac{W}{t}。当 tt 缩得很小，平均功率的极限就是瞬时功率，等于力沿速度方向的分量与速度大小之积，P=Fvcos⁡θP=Fv\cos\theta；力与速度同向时简化为 P=FvP=Fv。发动机铭牌上标出的额定功率就是这个瞬时功率的上限——同一台发动机，速度越低所能持续输出的牵引力反而越大，二者受这条乘积关系互相约束。

3 · 动能定理

动能（kinetic energy）定义为 Ek=12mv2E_k=\frac{1}{2}mv^2。考虑合外力沿位移方向恒定、物体沿直线运动的情形：合力 FnetF_{net} 产生加速度 a=Fnet/ma=F_{net}/m，位移 Δx\Delta x 内末速度满足 v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta x（位置、速度与匀变速直线运动已给出这条公式）。两边乘以 12m\frac{1}{2}m：

12mv2−12mv02=maΔx=FnetΔx\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2 = ma\Delta x = F_{net}\Delta x

右边等于合力做的功，左边正是动能的变化量，于是

Wnet=ΔEk=12mv2−12mv02W_{net} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2

这条动能定理由匀变速直线运动的公式导出，但结论比推导过程更宽：力不必恒定、路径不必是直线，只要把 WnetW_{net} 换成对路径的积分 ∫Fnetcos⁡θ ds\int F_{net}\cos\theta\,ds，同样的等式依然成立——这一步推广要用到微积分，不在此展开，本页只验证恒力、直线路径这一常见情形。

图 3-1 · 斜面上拉力、重力分量与摩擦力各自做的功，及其代数和与末速度的两种算法对拍。可调倾角 α\alpha、摩擦因数 μ\mu、拉力 FF、位移 ss 与初速度 v0v_0，观察四项功的柱状图与两条算法给出的速度是否吻合。

注 · 图中「两种算法的差值」多数参数组合下严格算出 00——两条路径的浮点运算量相同，顺序也没有差别。但把参数调到 α=37°\alpha=37°、μ=0.42\mu=0.42、F=9F=9 N、s=5.5s=5.5 m、v0=2.75v_0=2.75 m/s 这组值，差值会变成约 2.8×10−142.8\times10^{-14}：这几个角度的正弦、余弦在双精度浮点下没有精确表示，两条路径各自舍入的方向不同，才露出这个量级的非零差。它不说明公式有分歧，只说明「整齐的参数凑巧没引入舍入误差」这件事本身是运气，不是常态。

4 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 7. Wiley.
  2. Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for Scientists and Engineers (10th ed.), Chapter 7. Cengage.