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实数 · 从数轴的空位到浮点的间距

数从数数开始。此后每一次扩充数系都由一件做不成的事推动：自然数里减法可能无解，整数里除法可能无解，有理数里开方与取极限可能无解。前三步补的是某个方程的解，第四步补的是「取极限」这个动作的落点，性质不同，也难写得多。

本系列五页走完这条路。开篇排出 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 的嵌套与各层的封闭性，并给出有理数的稠密性：任意两个有理数之间还挤着无穷多个，数轴上却仍有位置空着。第二页把有理数与小数展开对上：长除法的余数只有有限种取值，循环因而必然出现；反向由错位相减还原分数；再往下问循环节有多长，答案落在分母的因数分解与一个模运算的阶上。第三页证 √2 写不成分数，两条证明互不依赖，随后由有理根定理一次覆盖全部非完全平方数，末节交代代数数与超越数的分层。第四页是落点：完备性的四种表述互相等价，且在 ℚ 上同时失效——x² − 2 在有理数上从负变到正却没有根，二分法因此永不终止。第五页换到代码里，double 是一个有限集，实数轴上绝大多数点根本不在其中。

几处实测顺手记在正文里：3.14 与 3.15 之间分母最小的有理数是 22/7，3.141592 与 3.141593 之间是 355/113，而 1.414 与 1.415 之间不是熟脸 99/70 而是 58/41；长除法引擎的 200 步上限比看起来更容易撞上，lab 允许的 9998 个分母里有 5217 个展不完，最长的 1/9967 循环节 9966 位；有理数上的二分跑到第 64 步区间宽 1/2^63，中点分母已是 20 位十进制数，符号判定一次也没给出零；double 那一侧，[0, 1) 内装了 4607182418800017408 个可表示数，是 [1, 2) 内 2^52 个的 1023 倍。

数系的扩张与小数展开

四层嵌套的次序由封闭性决定：减法要负数、除法要分数、开方与取极限要实数。有理数在数轴上稠密，而它们的小数展开只有有限与循环两种形态——循环节的长度由分母里 2 与 5 之外的那部分决定。

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

数轴与数系的四层嵌套

沿 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 排出四种数系的嵌套关系，说明每一次扩张补上了哪种运算的封闭性。有理数在数轴上稠密，任意两个之间还挤着无穷多个，数轴上却仍有点没被占住。

 长除法 · 循环节

有理数与小数展开

长除法的余数只有 q 种取值，鸽巢原理保证它必然重复，故有理数的小数展开必为有限或循环。反向由错位相减还原分数。循环节的长度等于 10 在模 q′ 下的乘法阶。

循环节长度不看分母大小，看 10 的阶

「分母越大循环节越长」只在最好的情形下成立。上限是 q′ − 1（q′ 是分母去掉 2 与 5 的因子后剩下的部分），取到上限要求 10 是模 q′ 的原根，200 以内这样的素数只有 17 个：7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193。落差可以很大：1/13 的循环节是 6 而不是 12，1/101 只有 4；239 是素数而 238 = 2 × 7 × 17，10 的阶取到了最小的那个因数，1/239 的循环节只有 7 位。阶必整除 φ(q′)，具体是哪个因数要算过才知道。 有理数之外

√2 写不成分数，奇偶反证与无穷递降各证一遍，有理根定理把结论推广开去。补上有理数留下的空位就是完备性：确界原理、单调有界、区间套与 Cauchy 列讲的是同一件事，四条在 ℚ 上一起失效。

√2 · 有理根定理

无理数：反证、递降与超越

√2 写不成分数有两条互相独立的证明：最简分数的奇偶矛盾，与整数边长三角形的无穷递降。有理根定理把结论一次性推广到任意非完全平方数，末节交代代数数与超越数的分层。

 确界原理 · 区间套

实数的完备性

完备性是实数区别于有理数的那条性质。确界原理、单调有界定理、区间套与 Cauchy 列是它的四种说法，四者互相等价，且在 ℚ 上同时失效：x² − 2 在 ℚ 上从负变到正，却没有根。

同一个量换条算路才量准

√2 的连分数渐近分数的逼近质量是 q²·|p/q − √2|，理论值收敛到 1/(2√2) = 0.353553390593。直接算 p / q - Math.SQRT2 只在前八项可信：第十二项（19601/13860）偏到 0.35355356，第二十一项给出 0.6621（接近真值两倍），到第二十二项 131836323/93222358 时 p / q 与 Math.SQRT2 已是同一个 double，差值恰为 0，整个量塌成零。两个都以 1.41421356 开头的数相减，有效位被抵消掉。改用 Pell 方程给出的等价式 1/(p/q + √2) 之后不再相减，全程稳定，单测把两条算路并列钉住。 落到机器里

双精度浮点是一个有限集，每个元素都是二进制有理数 m · 2^e。0.1 在二进制下是循环小数，于是 0.1 + 0.2 !== 0.3；间距随量级翻倍，判等只能带容差。精确算术要用 BigInt 分数换，代价是开方与超越函数出不来。

binary64 · ulp

浮点数：实数在代码里的残影

双精度浮点是一个有限集，它的每个元素都是二进制有理数 m·2^e。0.1 不在其中，它在二进制下是循环小数。由此得到 0.1 + 0.2 !== 0.3、机器 epsilon 与 ulp，以及判等必须带容差。

Number.EPSILON 不是误差上限

Number.EPSILON 是 1 处相邻两个 double 的间距（2^−52），别处的间距不是这个数：0.1 处是 1.3878 × 10^−17，10^9 处是 1.1920928955078125 × 10^−7，2^53 处已经是 2。把它当成通用误差上限写判等，在大量级处会退化成 ===——绝对容差 10^−9 比 10^9 处的间距还小。可靠的写法是绝对与相对两条容差取较宽者，绝对容差管 0 附近，相对容差管大量级。

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浮点