映射 f：A→B 与像、原像、复合、逆

输入定义域 A 与陪域 B（自然数），再给 A 的每个元素填一个 B 里的去处，即定义了 f。在 S 框输入源子集，右侧像 f(S)（强调色）亮起；在 T 框输入目标子集，左侧原像 $f^{-1}(T)$（绿色）亮起。

三个和「像 / 原像」紧扣的概念：

• 单射(injective)——不同的源去往不同的落点（没有两条箭头指向同一个落点）。
• 满射(surjective)——B 里每个元素都被命中，即像 f(A) = B（此时 B 无「空位」）。
• 双射(bijective)——既单又满，A 与 B 恰好一一配对，这正是比较基数用的那种对应。

映射把集合运算「搬」过去时并不对称：原像 $f^{-1}$ 完美保持并、交、补（三者一律取等号）；而像 f 只保并、不保交——一般只有 $f(S_1\cap S_2) \subseteq f(S_1)\cap f(S_2)$。下表左列比较 $f(S_1∘S_2)$ 与 $f(S_1)∘f(S_2)$，右列比较 $f^{-1}(T_1∘T_2)$ 与 $f^{-1}(T_1)∘f^{-1}(T_2)$（∘ 取该行的运算）。把 f 换成单射，像那列的交也会恢复等号——这正是「像保交 ⟺ f 单射」。

直觉：原像是「逆着箭头找来源」，每个源的去处唯一，故「先做运算再找来源」与「先各自找来源再做运算」结果一致——并、交、补都不走样。像是「顺着箭头看落点」，多个源可能挤到同一个落点；$S_1$ 与 $S_2$ 即便无公共元素，它们的像仍可能相交，于是 $f(S_1\cap S_2)$（可能为空）撑不满 $f(S_1)\cap f(S_2)$。唯有 f 单射、落点不再挤，等号才回来。

给 $f:A\to B$ 与 $g:B\to C$，先用 f 再用 g，就得到复合映射 $g∘f:A\to C$，其中 (g∘f)(x) = g(f(x))。点 A 中任一元素，追踪它经 f 落到 B、再经 g 落到 C 的两段路径。

复合对单 / 满的传递并不对称：两段都单射，合成必单射；两段都满射，合成必满射。但反过来只能推出「靠近输出的一半」——g∘f 单射只能保证 f 单射，g∘f 满射只能保证 g 满射。用「g∘f 满，但 f 非满」那个预设可直接观察：合成已铺满 C，f 却漏了 B 中的元素。

把 f 的箭头整体反向，得到从 B 回 A 的对应。它能否成为一个合格的映射 $f^{-1}:B\to A$，取决于 f 是不是双射：非单射 → 某落点反向后一对多（违反「唯一」）；非满射 → 某 B 元素反向后没有来源（违反「每个」）。切换正向 / 反向对照观察。

只有双射才有逆映射，且此时 $f^{-1}∘f = id_A$、$f∘f^{-1} = id_B$——来回一趟回到原点。注意区分：这里的 $f^{-1}$（逆映射，只在双射时存在）与上文原像 $f^{-1}(T)$ 是两回事——原像对任意映射都有定义，它作用在子集上、返回一个子集，不要求 f 可逆。

设 m = |A|、n = |B|。定义一个映射，就是给 A 的每个元素独立挑一个 B 中去处，故全体映射共 $n^m$ 个。再按单 / 满 / 双加约束，个数分别落到下降阶乘、Stirling 第二类数 S(m,n)（见枚举划分）乘 n!、以及 n! 上。拖动滑块改 m、n，公式与个数即时重算。

三条线索都在这张表里：全体映射 $n^m$ 增长最快；单射要求去处互不相同，可选数逐个递减，得下降阶乘 $n\cdot (n-1)\cdot \cdot \cdot (n-m+1)$（m > n 时为 0，鸽巢原理）；满射数 $S(m,n)\cdot n!$ 里，S(m,n) 先把 m 个源分成 n 个非空组（对应 B 的 n 个像），n! 再把这些组配到 B 的具体元素上；双射只在 m = n 时存在，恰 n! 个，正是单射与满射在 m = n 处的交汇。