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函数 · 从性质到基本初等函数

函数(function)给每个自变量 x 指定唯一的函数值 f(x)，它的图象是平面上一条曲线。本系列不停留在描点画图，而是围绕两个问题展开：其一，一条曲线整体有哪些可被精确定义的性质？其二，高中最常见的几类函数各自呈现何种形态、性质如何？

前半部分讲函数的性质——单调性刻画「随 x 增大，函数值是升还是降」，奇偶性刻画「图象关于 y 轴还是原点对称」，两者都从「任取两点比较」的定义出发。后半部分逐个走过三类基本初等函数：幂函数 y = x^α、指数函数 y = aˣ，以及把指数函数关于直线 y = x 反射得到的对数函数 y = log_a x。每页都可拖动参数，即时看到曲线随之变形、标注点在图上移动。

函数的性质 · 单调性与奇偶性

不依赖具体表达式，只看图象整体：函数值随自变量增大是升还是降（单调性），图象关于 y 轴还是原点对称（奇偶性）。两者都由「在定义域上任取两点作比较」的定义给出。

monotonic · x₁ < x₂ 时比较 f(x₁) 与 f(x₂)

单调性：随 x 增大，函数值升还是降

在区间上任取 x₁ < x₂，若总有 f(x₁) < f(x₂) 则函数在该区间单调递增(increasing)，若总有 f(x₁) > f(x₂) 则单调递减(decreasing)。选一条曲线并拖动 x₁（取 x₂ = x₁ + Δ），看两点高低如何反映升降，递增 / 递减区间用不同底色标出。

parity · f(−x) = f(x) 或 f(−x) = −f(x)

奇偶性：图象关于 y 轴还是原点对称

定义域关于原点对称的前提下，f(-x) = f(x) 是偶函数(even)，图象关于 y 轴对称；f(-x) = -f(x) 是奇函数(odd)，图象关于原点对称；两者都不满足则非奇非偶。拖动 x，同时高亮 (x, f(x)) 与镜像点 (-x, f(-x))，对照对称参考判定类别。

基本初等函数 · 幂 / 指 / 对

高中的基本初等函数里，幂、指、对三类最能体现「参数如何决定图象」。注意区分幂函数 y = x^α（底是自变量、指数是常数）与指数函数 y = aˣ（底是常数、指数是自变量），再看对数函数如何作为指数函数的反函数出现。

power function · y = x^α

幂函数 y = x^α：底是自变量

幂函数把自变量 x 作底、指数 α 是常数。切换 α 取几个典型值（-1, 1/2, 1, 2, 3），在同一坐标系里看曲线形状的变化，并读出该 α 下的定义域、奇偶性，以及在 (0, +∞ ) 上的单调性。它与指数函数「底与指数互换角色」的对比是理解两者的关键。

exponential · y = aˣ (a>0, a≠1)

指数函数 y = aˣ：底是常数

指数函数把常数 a 作底、自变量 x 作指数（要求 a > 0 且 a ≠ 1）。拖动底 a，看曲线恒过定点 (0, 1)：a > 1 时单调递增、0 < a < 1 时单调递减，x 轴是它的水平渐近线(asymptote)。读数给出当前 a 与几个采样点的函数值。

logarithm · y = log_a x · aˣ 的反函数

对数函数 y = log_a x：指数函数的反函数

对数函数是指数函数的反函数(inverse)：把 y = a^x 关于直线 y = x 反射，就得到 y = log_a x。同图画出 a^x、log_a x 与 y = x，看两条曲线如何关于 y = x 互为镜像；对数的定义域是 x > 0，图象恒过定点 (1, 0)，单调方向与同底的指数函数一致。

指数与对数：互为反函数的一对

指数函数 y = aˣ 与对数函数 y = log_a x（同一个底 a）互为反函数：前者把 x 送到 aˣ，后者把它送回来，log_a(aˣ) = x、a^(log_a x) = x。反函数在几何上表现为图象关于直线 y = x 对称，定义域与值域也随之互换——指数函数值域 (0, +∞) 正是对数函数的定义域。这也是两条曲线都关于 y = x 对称分布的原因。