p = x a + y b + z c

· 混合积

空间向量基本定理与共面定理

平面向量基本定理说的是：不共线的两个向量的全部线性组合铺满整个平面，且系数唯一。空间里同一句话要三个向量，而「不共线」这个条件要换成「不共面」。三条定理由此排成一列，各自回答「几个向量能表示多大范围」。

1 · 共线与共面

定理 1.1（共线定理）设 $a \ne 0$ 。则 $b$ 与 $a$ 共线的充要条件是存在唯一实数 $\lambda$ 使 $b = \lambda a$ 。

判据取叉积： $a \times b = 0$ 恰是两者共线。用叉积而不用「对应分量成比例」，是因为后者在某个分量为零时要分情况讨论，而 $a \times b$ 一个式子覆盖全部情形。

定理 1.2（共面定理）设 $a$ 与 $b$ 不共线。则 $p$ 与 $a$ 、 $b$ 共面的充要条件是存在唯一一对实数 $\lambda$ 、 $\mu$ 使 $p = \lambda a + \mu b$ 。

把三个向量的起点平移到同一点，共面就是「三个箭头落在同一张平面上」。这个条件的代数形式是混合积 $[a\,b\,p] = (a \times b) \cdot p$ 为零： $a \times b$ 垂直于 $a$ 、 $b$ 张成的平面， $p$ 与它垂直即 $p$ 落在那张平面内。

四点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 共面另有一种常用写法。取任一点 $O$ ，则

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}, \qquad x + y + z = 1

系数和为 1 这一条使式子在原点平移下不变，「共面」这个结论随之与建系无关：把 $O$ 换到别处，三个系数一个不变。affineDecompose 的单测就验这一条：整体平移 $(5, -7, 11)$ 后系数与原来逐位相同。

2 · 空间向量基本定理

定理 2.1（空间向量基本定理）设 $e_1$ 、 $e_2$ 、 $e_3$ 不共面。则空间中任一向量 $p$ 都可唯一地写成

p = x e_1 + y e_2 + z e_3

向量组 $e_1$ 、 $e_2$ 、 $e_3$ 称空间的一个基底。

定理有两半：存在（覆盖整个空间）与唯一（系数不重复）。两半都依赖「不共面」。若三者共面，它们的线性组合只铺满一张平面，空间中平面外的向量表示不出来；退一步，即使目标向量恰在那张平面内，表示也不再唯一——第三个向量成了多余的自由度。

三条轴上的单位向量 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 是最常用的基底，此时系数就是坐标。但基底不必正交，也不必等长：长方体 $ABCD$ - $A_1B_1C_1D_1$ 的三条共顶点的棱是一组基底， $\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AD}$ 与体对角线 $\overrightarrow{AC_1}$ 也是一组。用哪一组要看题目：若已知条件里出现的都是从同一顶点出发的三条棱的长度与夹角，取那三条棱作基底可以完全避开建系这一步。

3 · 分解的计算

解 $p = x e_1 + y e_2 + z e_3$ 是解一个三元一次方程组。克拉默法则用在此处写得特别短，三个分子都是混合积：

x = \frac{[p\,e_2\,e_3]}{[e_1\,e_2\,e_3]}, \qquad y = \frac{[e_1\,p\,e_3]}{[e_1\,e_2\,e_3]}, \qquad z = \frac{[e_1\,e_2\,p]}{[e_1\,e_2\,e_3]}

分母正是定理 2.1 里那个条件的代数形式。基底退化时 decompose3 返回空值，而不是让 $0/0$ 变成 NaN 流进读数：分解不存在，不该由一个数字来表示。

例 3.1 长方体 $ABCD$ - $A_1B_1C_1D_1$ 中 $AB = 2$ 、 $AD = 3$ 、 $AA_1 = 4$ 。取 $\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AD}$ 、 $\overrightarrow{AA_1}$ 为基底，则 $\overrightarrow{AC_1}$ 的系数是 $(1, 1, 1)$ ， $\overrightarrow{AC}$ 的系数是 $(1, 1, 0)$ ，第三个系数为零说明 $AC$ 落在底面内，而 $\overrightarrow{AB_1}$ 的系数是 $(1, 0, 1)$ 。换成基底 $\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AD}$ 、 $\overrightarrow{AC_1}$ ，同一个 $\overrightarrow{AB_1}$ 的系数变成 $(0, -1, 1)$ ，即 $\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{AD}$ 。系数随基底而变，被表示的向量不变。

图 3-1 · 三个基向量对目标向量的分解。可调方位角与俯仰角旋转视图，切换基底并拖动目标向量的三个坐标，读数给出混合积、分解系数与重构误差；基底退化的一栏改判目标向量是否与前两个共面。

4 · 判据的尺度

混合积为零是共面的准确判据，写成代码却要留意它是个体积：三个向量同时放大 $k$ 倍，混合积放大 $k^3$ 倍，而共面这件事一点没变。

实测一组： $a = (2, 0, 0)$ 、 $b = (0, 2, 0)$ 、 $v = (1, 1, 10^{-7})$ 的混合积是 $4 \times 10^{-7}$ ；整体放大 10 倍后，混合积是 $4 \times 10^{-4}$ ，涨了 1000 倍。拿固定的 $10^{-6}$ 当阈值，同一个构型放大一遍就从「共面」翻成「不共面」。

本系列的 decompose2 因此不判混合积，而判 $v$ 到 $a$ 、 $b$ 张成的平面的距离与 $\lvert v \rvert$ 之比：上面两档分别是 $10^{-7}/1.414$ 与 $10^{-6}/14.14$ ，比值都是 $7.07 \times 10^{-8}$ ，不随尺度动。这一改动是实测逼出来的：起初直接调用 shared/geom3d.ts 的 coplanar（它就是混合积与固定 $10^{-9}$ 比），把同一个几乎共面的构型放大一遍就换了答案，于是本系列的判据改成相对量，而 coplanar 保持原样——它的定位是「混合积为零」这条定义的直译，不是一个带容差的判定器。

警示 · 最小二乘给出的那对 $\lambda$ 、 $\mu$ 在不共面时同样有值，它是使 $\lvert v - \lambda a - \mu b \rvert$ 最小的那一对，对应 $v$ 在平面上的投影。读数里必须同时看残差：残差非零时那对系数不是「 $v$ 的分解」，只是最接近的一组。把它当分解用会得到一个看似合理却错误的答案，而这类错误在只报布尔值的接口下反而不容易发生。

5 · 参考文献

Basis (linear algebra). Wikipedia. 基底的定义与表示唯一性。https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)
Triple product. Wikipedia. 混合积、它的体积含义与共面判据。https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product
Cramer's rule. Wikipedia. 克拉默法则，三元一次方程组的行列式解法。https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule
Coplanarity. Wikipedia. 共面的多种等价判据。https://en.wikipedia.org/wiki/Coplanarity