basis ·

v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2

D \ne 0

平面向量基本定理与基底

向量的线性运算给出了两种造新向量的方式：加法与数乘。把二者合起来，形如 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ 的式子称为 $e_1$ 与 $e_2$ 的线性组合 (linear combination)。平面向量基本定理回答的是这类式子的覆盖能力：两个向量的全部线性组合能否铺满整个平面，以及铺满时的系数是不是只有一组。

1 · 共线向量定理

b = \lambda a

x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0

先看只有一个向量的情形。非零向量 $a$ 的全部数乘 $\lambda a$ 构成一条过原点、方向沿 $a$ 的直线。方向相同或相反的两个非零向量称为共线 (collinear) 向量，并约定零向量与任何向量共线——零向量没有方向，这一条是补进定义的约定而非推论，否则「共线」在含零向量时无定义。

定理 1.1 设 $a$ 非零。向量 $b$ 与 $a$ 共线，当且仅当存在唯一的实数 $\lambda$ 使 $b = \lambda a$ 。

存在性： $b$ 与 $a$ 共线时取 $\lambda = |b| / |a|$ ，同向取正号、反向取负号，模与方向随即都对上。唯一性：若 $\lambda a = \mu a$ ，则 $(\lambda - \mu)\, a$ 为零向量，而非零向量的数乘为零只能出自系数为零， $\lambda = \mu$ 。

条件「 $a$ 非零」不可省。零向量与任何向量共线，此时 $b$ 非零则无解、 $b$ 为零向量则任何 $\lambda$ 都成立，存在性与唯一性同时垮掉。

写成坐标， $a = (x_1, y_1)$ 与 $b = (x_2, y_2)$ 共线的判据是 $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ 。这个二阶行列式在引擎里记作 cross，它的绝对值等于两向量张成的平行四边形面积，面积为零即两条邻边压成了一条线。

2 · 基本定理与分解的唯一性

v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2

平面内两个不共线的向量合称一组基底 (basis)，其中每个向量称为基向量。

定理 2.1（平面向量基本定理） 设 $e_1$ 、 $e_2$ 是同一平面内两个不共线的向量。对该平面内任一向量 $v$ ，存在唯一的一对实数 $\lambda_1$ 、 $\lambda_2$ ，使 $v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ 。

证明存在性：把 $e_1$ 、 $e_2$ 、 $v$ 移到公共起点 $O$ ，过 $v$ 的终点作平行于 $e_2$ 的直线，交 $e_1$ 所在直线于 $P$ ；再作平行于 $e_1$ 的直线，交 $e_2$ 所在直线于 $Q$ 。两组直线因 $e_1$ 、 $e_2$ 不共线而各有唯一交点。 $\overrightarrow{OP}$ 与 $e_1$ 共线、 $\overrightarrow{OQ}$ 与 $e_2$ 共线，由定理 1.1 分别写成 $\lambda_1 e_1$ 与 $\lambda_2 e_2$ ，而 $OPvQ$ 是平行四边形，故 $v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ 。

唯一性：设 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2$ ，移项得 $(\lambda_1 - \mu_1)\, e_1 = (\mu_2 - \lambda_2)\, e_2$ 。若 $\lambda_1 \ne \mu_1$ ，两边同除 $\lambda_1 - \mu_1$ 即把 $e_1$ 写成 $e_2$ 的数乘，与不共线矛盾；故 $\lambda_1 = \mu_1$ ，代回又得 $\lambda_2 = \mu_2$ 。∎

把定理放进坐标系就是一个二元一次方程组。记 $e_1 = (x_1, y_1)$ 、 $e_2 = (x_2, y_2)$ 、 $v = (x, y)$ ，待定的系数满足 $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = x$ 与 $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 = y$ 。Cramer 法则给出

\lambda_1 = \frac{x y_2 - y x_2}{D}, \qquad \lambda_2 = \frac{x_1 y - y_1 x}{D}, \qquad D = x_1 y_2 - x_2 y_1

分母 $D$ 就是 §1 的共线判据：不共线等价于 $D \ne 0$ ，也等价于这个方程组有唯一解。定理的几何叙述与线性方程组的可解性在此合为一件事。

图 2-1 · 基底

e_1

、

e_2

与目标向量

v

的分解。可拖动三个端点或切换预设基底，观察系数

\lambda_1

、

\lambda_2

随行列式

D

的变化。

3 · 不共线条件的失效

$e_1$ 与 $e_2$ 共线时，二者的全部线性组合仍落在同一条过原点的直线上，两者皆为零向量时更退化成原点。结论随之裂成两半： $v$ 落在这条直线外，一组系数也没有； $v$ 落在直线上，系数有无穷多组。取 $e_1 = (1, 1)$ 、 $e_2 = (2, 2)$ 、 $v = (3, 3)$ ，系数取 $(3, 0)$ 与 $(1, 1)$ 都对。引擎的 classifyBasis 把这两种情形分别报成 none 与 infinite，不合并成一句「无解」。

「不共线」在数学上非此即彼，数值上却有程度。 $D$ 越接近零，同一个 $v$ 解出的系数越大。本页 lab 的端点吸附到整数格， $|D|$ 的最小非零值就是 1；在画布范围（ $x$ 取 $-7$ 到 $7$ 、 $y$ 取 $-6$ 到 $6$ ，共 195 个整点）里穷举全部 $|D| = 1$ 的基底与全部目标向量，系数绝对值最大到 84： $e_1 = (-7, -6)$ 、 $e_2 = (-6, -5)$ 、 $v = (-7, 6)$ 时解得 $\lambda_1 = -71$ 、 $\lambda_2 = 84$ 。两个长度不到 10 的基向量，要靠绝对值合计 155 的伸缩量才凑出一个长度 9.22 的目标，画布上那两条系数边早已伸出可视范围。这个上界连同该样例一并写进了 vectors.test.ts，改动 basisSolve 时会被它拦住。

4 · 坐标表示作为特例

取 $e_1 = i = (1, 0)$ 、 $e_2 = j = (0, 1)$ 这一对互相垂直的单位向量作基底， $D = 1$ ，Cramer 公式退化成 $\lambda_1 = x$ 、 $\lambda_2 = y$ 。坐标表示里的那对坐标，就是这组基底下的分解系数；逐分量的加法与数乘法则，也不过是基本定理在 $D = 1$ 时的写法。

一般基底同样能表示平面内的每个向量，坐标基底并没有多出表达能力，省下的只是计算量： $D = 1$ 免去除法，两轴垂直又让数量积写成 $x_1 x_2 + y_1 y_2$ ，不必回到 $|a| |b| \cos\theta$ 。反过来，遇到以三角形两条边为天然方向的题目，取这两条边作斜基底往往比强行建系更短。

注 · 系数依赖于基底：同一个 $v$ 换一组基底就换一组 $\lambda$ ，比较两个向量的系数只在同一基底下有意义。这也是解题时先声明基底、中途不再更换的原因。

5 · 参考文献

Basis (linear algebra). Wikipedia. 基底的定义与分解系数的存在唯一性。https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)
Cramer's rule. Wikipedia. 二元一次方程组的行列式解法与 $D \ne 0$ 这一条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule
Linear independence. Wikipedia. 线性无关与共线的关系，以及退化情形。https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_independence