(x, y, z)

a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

空间直角坐标系与坐标运算

平面向量的坐标表示把作图化成了算术：两个向量相加就是两对分量各自相加。空间里这件事逐字重复，只是每处多一个分量。真正需要重新交代的不是运算规则，而是坐标系本身：三条轴的次序有一个约定，而这个约定决定了后面叉积朝哪一侧。

1 · 三条轴与右手系

定义 1.1（空间直角坐标系） 从空间一点 $O$ 出发作三条互相垂直的数轴 $Ox$ 、 $Oy$ 、 $Oz$ ，取相同的单位长度，且三者的次序满足右手规则：右手四指自 $x$ 轴正向弯向 $y$ 轴正向时，拇指指向 $z$ 轴正向。 $O$ 称原点，三条轴两两确定的平面 $Oxy$ 、 $Oyz$ 、 $Ozx$ 称坐标平面。

右手规则不是排版偏好。它一旦定下，叉积 $a \times b$ 的方向就随之定下： $i \times j = k$ 而非 $-k$ 。换成左手系，本系列后面所有法向量都要反向，而角与距离的公式里法向量以比值出现，结果反倒不变；受影响的只有「点落在平面哪一侧」这类带符号的判断。

三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分称一个卦限。八个卦限里只有第一个的三个坐标全为正，这也是本系列的形体一律摆在第一卦限、并让一个顶点落在原点的原因：这样长方体的八个顶点坐标只含 0 与三条棱长，手算与图上读数能互相校对。

2 · 坐标就是基底下的分解系数

在三条轴的正方向上各取单位向量 $i$ 、 $j$ 、 $k$ ，它们两两垂直、长度为 1，称单位正交基底。

定理 2.1 空间中任一向量 $a$ 都可唯一地写成 $a = x i + y j + z k$ 。有序实数组 $(x, y, z)$ 称 $a$ 的坐标。

这条定理是空间向量基本定理在基底取成 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 时的特例，本页只用它的结论。值得留意的是「坐标」这个词有两种读法： $(x, y, z)$ 既是向量 $a$ 的坐标，也是以 $O$ 为起点、 $a$ 为方向的那个点 $A$ 的坐标。二者数值相同而对象不同——向量与起点无关，点与起点有关。 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标是终点坐标减起点坐标，这一句正是两种读法的换算。

3 · 逐分量的运算

设 $a = (x_1, y_1, z_1)$ 、 $b = (x_2, y_2, z_2)$ ， $\lambda \in \mathbb{R}$ ：

运算	坐标写法
加法	$a + b = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2,\; z_1 + z_2)$
数乘	$\lambda a = (\lambda x_1,\; \lambda y_1,\; \lambda z_1)$
数量积	$a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
模	$\lvert a \rvert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$
夹角余弦	$\cos\theta = \dfrac{a \cdot b}{\lvert a \rvert \lvert b \rvert}$
垂直	$a \perp b \iff a \cdot b = 0$

模的式子是勾股定理用两次的结果：先在 $Oxy$ 平面内得 $\sqrt{x^2 + y^2}$ ，再与 $z$ 合成。两点 $P_1$ 、 $P_2$ 的距离即 $\lvert \overrightarrow{P_1P_2} \rvert$ ，中点坐标是两端坐标的平均。

例 3.1 正方体 $ABCD$ - $A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 1， $A$ 在原点， $AB$ 、 $AD$ 、 $AA_1$ 分别沿三条轴。则 $\overrightarrow{AC_1} = (1, 1, 1)$ ， $\overrightarrow{A_1B} = (1, 0, -1)$ ，两者的数量积为 $1 + 0 - 1 = 0$ ，故体对角线 $AC_1$ 与面对角线 $A_1B$ 垂直。同理 $\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{A_1D} = 0$ ，于是 $AC_1$ 垂直于平面 $A_1BD$ 内两条相交直线，从而垂直于该平面——这个结论在线面角那一页会被反复用到。

图 3-1 · 长方体上两个共起点向量的坐标运算。可调方位角与俯仰角旋转视图，切换形体规格与向量对，读数并列给出坐标、模、数量积、空间夹角，以及同一对向量在屏幕上量到的长度与夹角。

4 · 图上量到的长度与角度

本系列的三维图一律用正交投影：屏幕坐标只取空间点在相机两条基向量上的分量。这种投影保平行、保中点、保比例，但不保长度，也不保角度。方位角 215°、俯仰角 22°、每单位长度取 40 像素时，正方体三条从同一顶点出发的棱在屏幕上分别量到 33.87、26.02、37.09 像素——空间中这三条等长，图上的长度比是 $1 : 0.768 : 1.095$ ，而这个比与取多少像素每单位无关。互相垂直的两条棱在屏幕上量到 42.84°（ $x$ 与 $y$ 轴）、61.85°（ $y$ 与 $z$ 轴）与 104.70°（ $x$ 与 $z$ 轴），三个都不是 90°。面对角线 $AC$ 与体对角线 $AC_1$ 的空间夹角是 35.26°，屏幕上量到 32.42°。

这组数字是本系列坚持「一切结论从坐标算，不从图上量」的实际理由。图的职责是给出哪些点相邻、哪条棱被挡住、法向量指向哪一侧这类拓扑与定性信息；数值一律回到坐标。

注 · 课本画直观图用的是斜二测： $x$ 轴与 $y$ 轴成 45°、 $y$ 方向长度减半。它是一种剪切而非旋转投影，只在固定视角下便于手绘；一旦允许拖动旋转，那两条约定就无从维持，故本系列的图不用它。两者的共同点是都不保长度与角，所以「图上量」这条路在斜二测下同样不通。

5 · 参考文献

Cartesian coordinate system. Wikipedia. 直角坐标系的定义与三维推广。https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system
Right-hand rule. Wikipedia. 右手系的约定与它对叉积方向的影响。https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule
Dot product. Wikipedia. 数量积的坐标式、夹角与垂直判据。https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
Orthographic projection. Wikipedia. 正交投影保平行、保比例而不保长度与角。https://en.wikipedia.org/wiki/Orthographic_projection