components ·

a = (x, y)

|a| = \sqrt{x^2+y^2}

坐标表示：向量就是一对坐标

向量的线性运算本来靠作图完成。给平面配上直角坐标系后，每个向量都能写成一对坐标 $a = (x, y)$ ——它表示从原点出发、水平走 $x$ 、竖直走 $y$ 到达的那一点，也是这个向量沿 $x$ 轴与 $y$ 轴分解出的两个分量 (components)。有了坐标，几何作图立刻化为逐分量的算术。

a + b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2) \qquad \lambda a = (\lambda x,\ \lambda y)

a - b = (x_1-x_2,\ y_1-y_2) \qquad |a| = \sqrt{x^2+y^2}

三条运算法则在坐标下都只是对分量分别操作，减法则是加上相反向量。所有作图法则的正确性，最终都由这几条坐标恒等式保证。

1 · 逐分量读出每一步计算

a + b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2)

|a| = \sqrt{x^2+y^2}

$|a|$ 一般是无理数——它是以 $x$ 、 $y$ 为直角边的直角三角形的斜边长。

图 1-1 · 坐标下的加法、数乘与模，逐分量列出计算过程。可拖动

a

、

b

的端点（吸附到整数格）或滑动

\lambda

，观察数乘如何对每个分量同乘同一系数。

注 · 坐标把「方向加大小」这种几何信息，翻译成了可直接计算的数对。此后向量的加减、数乘、乃至下一步的数量积，都不必再作图，套用分量公式即可——这正是解析几何用代数处理几何问题的基本思路。

2 · 参考文献

Cartesian coordinate system. Wikipedia. 直角坐标系与点、向量的坐标表示。https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system
Euclidean vector. Wikipedia. 向量的分量分解与坐标下的线性运算。https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector
Norm (mathematics). Wikipedia. 欧氏模 $\sqrt{x^2+y^2}$ 及其一般化。https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)