y = A\sin(\omega x + \varphi)

T = 2\pi/\omega

正弦与余弦曲线

在单位圆上，让角 $\theta$ 从 $0$ 连续增大，交点 $P$ 的纵坐标 $\sin\theta$ 随之上下起伏。把 $\theta$ 铺到横轴、把 $\sin\theta$ 放到纵轴，这段起伏就展开成一条波形，即正弦曲线 $y = \sin x$ 。取横坐标 $\cos\theta$ 同理得到余弦曲线 $y = \cos x$ 。因为终边每转一圈（ $2\pi$ ）就回到原处，两条曲线都以 $2\pi$ 为周期 (period) 无限重复。

1 · 从旋转到波形

两条曲线形状相同，只是沿横轴相差 $\pi/2$ ： $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ ，即余弦是正弦左移 $\pi/2$ 的结果。它们的值域都是 $[-1, 1]$ ，在 $x$ 每增加 $2\pi$ 后完整重复一次。

图 1-1 · 单位圆上的旋转与右侧波形同步，交点纵坐标随角铺成正弦曲线。可拖动角观察逐点对应关系。

2 · 一般形式的三个参数

给 $y = \sin x$ 添三个参数，就能描述各种简谐振动：振幅 $A$ 把曲线沿纵向拉伸，值域变为 $[-A, A]$ ；角频率 $\omega$ 把曲线沿横向压缩，周期变为 $T = 2\pi/\omega$ （ $\omega$ 越大波越密）；相位 $\varphi$ 把曲线整体左右平移，平移量为 $\varphi/\omega$ 。

图 2-1 · 三个参数对曲线的作用，绿色虚线标出

\pm A

，紫色竖线是一条经过波峰的对称轴，顶部标注一个完整周期

T

。可拖动

A

、

\omega

、

\varphi

观察值域、疏密与左右位置的变化。

注 · 当 $A = 1$ 、 $\omega = 1$ 、 $\varphi = 0$ 时，曲线退回最基本的 $y = \sin x$ 。再加一个竖直平移 $b$ 便是简谐振动的一般形式，四个参数的几何效果、两条变换路线的平移量差异以及五点法作图，见一般正弦型函数的图象变换。

3 · 参考文献

Sine wave. Wikipedia. 正弦曲线 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的振幅、周期与相位。https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_wave
Sine and cosine. Wikipedia. 两条曲线的图象与 $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ 。https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_and_cosine
Periodic function. Wikipedia. 周期与最小正周期的定义。https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function