正弦与余弦曲线

在单位圆上，让角 θ 从 0 连续增大，交点 P 的纵坐标 sin θ 随之上下起伏。把 θ 铺到横轴、把 sin θ 放到纵轴，这段起伏就展开成一条波形——正弦曲线 y = sin x。取横坐标 cos θ 同理得到余弦曲线 y = cos x。因为终边每转一圈(${2\pi}$)就回到原处，两条曲线都以 ${2\pi}$ 为周期(period)无限重复。

1 · 从旋转到波形：y = sin x 与 y = cos x

两条曲线形状相同，只是沿横轴相差 $\pi /2$：$\cos x = \sin (x + \pi /2)$，即余弦是正弦左移 $\pi /2$ 的结果。它们的值域都是 $[-1, 1]$，在 x 每增加 ${2\pi}$ 后完整重复一次。

2 · 一般形式：y = A·sin(ωx + φ)

给 y = sin x 添三个参数，就能描述各种简谐振动：振幅 A 把曲线沿纵向拉伸，值域变为 $[-A, A]$；角频率 ω 把曲线沿横向压缩，周期变为 $T = 2\pi /ω$（ω 越大波越密）；相位 $\phi$ 把曲线整体左右平移。拖动三个滑块，绿色虚线标出 $\pm A$，紫色竖线标出一条对称轴（经过波峰），顶部标注一个完整周期 T。