正弦与余弦的性质

正弦与余弦曲线 给出了图象，性质则是图象上可以精确陈述的部分。周期性、奇偶性、单调区间与对称，四者不是彼此独立的观察，它们同出一源：终边绕原点旋转时交点坐标如何变化。本页以正弦为主线，余弦的结论沿 $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ 平移即得。

1 · 周期性与最小正周期

终边每转过 $2\pi$ 回到原处，交点坐标复原，于是 $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ 对一切整数 $k$ 成立。满足 $f(x + T) = f(x)$ 的非零常数 $T$ 叫周期 (period)，全体正周期中最小的那个叫最小正周期。正弦与余弦的最小正周期都是 $2\pi$。

最小性需要论证而不能只靠观察。若 $0 < T < 2\pi$ 是周期，取 $x = \pi/2$ 得 $\sin(\pi/2 + T) = 1$，而在 $(\pi/2,\ \pi/2 + 2\pi)$ 内正弦不再取到 $1$，矛盾。正切函数的图象与性质 §3 用同样的思路证出正切的最小正周期是 $\pi$。

2 · 奇偶性

$-x$ 的终边是 $x$ 的终边关于 $x$ 轴的镜像，交点由 $(c,\ s)$ 变为 $(c,\ -s)$。横坐标不变、纵坐标变号，于是 $\cos(-x) = \cos x$、$\sin(-x) = -\sin x$：余弦是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称；正弦是奇函数，图象关于原点对称。

3 · 单调区间

正弦在 $[-\pi/2 + 2k\pi,\ \pi/2 + 2k\pi]$ 上递增，在 $[\pi/2 + 2k\pi,\ 3\pi/2 + 2k\pi]$ 上递减。两式都能从单位圆读出：终边从 $-\pi/2$ 转到 $\pi/2$ 的过程中，交点从最低处升到最高处，纵坐标全程上升。余弦的递增区间是 $[-\pi + 2k\pi,\ 2k\pi]$，递减区间是 $[2k\pi,\ \pi + 2k\pi]$，比正弦整体右移 $\pi/2$。

区间写成闭区间是允许的：端点处函数取到最值，把它并入相邻的单调区间不破坏单调性的定义。相邻的递增与递减区间共用一个端点，这一点与正切的开区间形成对照，后者的端点根本不在定义域内。

4 · 对称轴与对称中心

正弦图象的对称轴是竖直直线 $x = \pi/2 + k\pi$，对称中心是点 $(k\pi,\ 0)$。判据是两条等式：$f(c + t) = f(c - t)$ 对一切 $t$ 成立说明 $x = c$ 是对称轴，$f(c + t) + f(c - t) = 0$ 说明 $(c,\ 0)$ 是对称中心。

对称轴穿过波峰或波谷，对称中心落在曲线与 $x$ 轴的交点上，两类位置沿横轴交替出现、间隔 $\pi/2$。余弦把这两类位置互换：对称轴在 $x = k\pi$，对称中心在 $(\pi/2 + k\pi,\ 0)$。

5 · 最值与它的取到位置

正弦的值域是 $[-1,\ 1]$，最大值 $1$ 在 $x = \pi/2 + 2k\pi$ 处取到，最小值 $-1$ 在 $x = -\pi/2 + 2k\pi$ 处取到；余弦的最大值在 $x = 2k\pi$、最小值在 $x = \pi + 2k\pi$。「取到」这两个字不能省：值域是闭区间，端点是取得到的，这与 $y = \tan x$ 值域为 $\mathbb{R}$ 却无最值形成对比。

6 · 参考文献

1. Periodic function. Wikipedia. 周期与最小正周期，以及最小正周期不存在的例子。https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function
2. Even and odd functions. Wikipedia. 奇偶性的定义与图象对称。https://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions
3. Monotonic function. Wikipedia. 单调性定义在区间上这一要点。https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function
4. Machine epsilon. Wikipedia. Number.EPSILON 的含义，以及浮点核验里那一档偏差的口径。https://en.wikipedia.org/wiki/Machine_epsilon